在集合Z12= {[0], [1], [2],...,[11]} 中,加法定义为 [a] + [b] = [a + b]。验证 H = {[0]， [4],[8]} 是Z12 的子群，写出H的所有左陪集。

在集合 \( Z_{12} \) 中，其中的元素是整数除以12的等价类，每个等价类由一个代表元素 `[a]` 表示，即所有模12同余于\( a \)的整数。在这个特定的加法定义下，两个等价类 `[a]` 和 `[b]` 的和 `[a] + [b]` 等于 `[a + b]`，也就是说，我们考虑的是整数之间的算术加法。

要验证集合 \( H = \{, , \} \) 是否是 \( Z_{12} \) 的子群，我们需要检查三个条件：

1. **封闭性**：对于任意的 \( h_1, h_2 \in H \)，它们的和 \( h_1 + h_2 \) 是否还在 \( H \) 内。由于 \( H \) 中的元素都是12的倍数加4的倍数（因为它们是0、4、8），加法后仍然是12的倍数加4的倍数。

2. **结合律**：对于任意的 \( h_1, h_2, h_3 \in H \)，有 \( (h_1 + h_2) + h_3 = h_1 + (h_2 + h_3) \)。这是加法的性质，不依赖于具体的子群。

3. **存在单位元**：集合中有一个元素，与所有其他元素相加等于自身，这里是 ``，因为 ` + [a] = [a]` 对所有 \( a \in Z_{12} \) 都成立。

4. **存在逆元**：对于每个非单位元 \( h \)，存在一个元素 \( h' \)，使得 \( h + h' = \)。在这个情况下，因为3是12的约数，的逆元是，的逆元是，所以逆元存在。

由于这四个条件都满足，我们可以说 \( H \) 是 \( Z_{12} \) 的子群。

接下来，我们来找出 \( H \) 的所有左陪集。左陪集是相对于子群H来说的，集合\( G \)的所有元素与\( H \)的所有元素相加的集合。在这个例子中，由于\( Z_{12} \)的元素只有12个，我们可以直接列出所有可能的结果：

- 左陪集1: \( H \)本身，因为 ` + [x] = [x]` 对于所有 \( x \in H \)。
- 左陪集2: `{, , [12], ...}`，这是 `` 加上所有\( Z_{12} \)的元素。
- 左陪集3: `{, , , ...}`，这是 `` 加上所有\( Z_{12} \)的元素。
- 以此类推，直到左陪集11: `{[11], , , }`，这是 `[11]` 加上所有\( Z_{12} \)的元素，实际上这就是\( H \)的补集，因为\[ [11] + = \) 和 \( [11] + = \)。

注意，这里不需要重复列出所有可能的组合，因为我们只需要12种结果，因为每个元素恰好是与\( H \)中一个元素相加得到的。