三、递增子序列问题 【问题描述】 小明最近对数列特别感兴趣，尤其想研究一个数列中有多少个长度为k的递增子序列。一个序列<a_1… a_n>的子序列定义为<a_(i_1 )…a_(i_l )>，其中1≤i_1≤i_l≤n。 如果a_(i_(j-1) )<a_(i_j ),且所有1<j≤l，则子序列<a_(i_1 )…a_(i_l )>为递增子序列。 小明想请你帮忙计算数列中长度为k的递增子序列个数。 【输入形式】 输入包含1组测试用例。每组测试用例中第一行包含两个数字n和k(1≤k≤n≤100)，其中n为数列长度，k为要计算的递增子序列长度。 接下来一行包括n个不同的整数a_i (-10000≤a_i≤10000)，其中a_i是数列中的第i个数字。 【输出形式】 对于每组测试用例，输出一行输入序列包含的长度为k的递增子序列的数目。 【样例输入】 10 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 【样例输出】 252

【问题分析】
这是一个组合计数的问题，我们需要计算长度为k的递增子序列的个数。递增子序列的元素必须按照顺序递增，但不要求连续。

【解题思路】
我们可以使用动态规划来解决这个问题。
定义状态dp[i][j]表示以第i个数结尾的长度为j的递增子序列的个数。
初始化dp数组为1，因为每个数本身都可以作为一个长度为1的递增子序列。

然后，我们从第2个数开始遍历，对于第i个数，遍历它之前的所有数（包括第i-1个数），如果第i个数大于等于第j-1个数，说明第i个数可以加入到以第j-1个数结尾的长度为j-1的递增子序列中，形成一个长度为j的递增子序列。因此，我们可以得到状态转移方程：
dp[i][j] = sum(dp[m][j-1])，其中m < i 且 a[m] < a[i]

最后，遍历整个dp数组，将最后一行的所有值相加，即为长度为k的递增子序列的个数。

【代码实现】

def countIncreasingSubsequences(n, k, nums):
    dp = [[0] * (k+1) for _ in range(n+1)]
    for i in range(1, n+1):
        dp[i][1] = 1
    
    for i in range(2, n+1):
        for j in range(2, k+1):
            for m in range(1, i):
                if nums[m] < nums[i]:
                    dp[i][j] += dp[m][j-1]
    
    return sum(dp[n][j] for j in range(1, k+1))

# 输入示例
n, k = map(int, input().split())
nums = list(map(int, input().split()))

# 计算递增子序列的个数
count = countIncreasingSubsequences(n, k, nums)
print(count)

【复杂度分析】
- 时间复杂度：O(n^2 * k)，其中n为数列长度，k为递增子序列的长度。
- 空间复杂度：O(n * k)。