在自动控制系统分析中，如何确定根轨迹与实轴的交点，以及这一过程对系统稳定性的影响？

确定根轨迹与实轴的交点是分析控制系统稳定性的关键步骤。根轨迹法通过绘制闭环极点随着增益变化的轨迹，帮助我们理解系统在不同工作条件下的稳定性。在自动控制理论中，当系统的开环传递函数的增益K变化时，系统的闭环极点将在复平面上沿着特定轨迹移动，形成根轨迹。当这个轨迹与复平面的实轴相交时，就意味着在这些特定的增益值下，系统的闭环极点将位于实轴上，这通常与系统的稳定性变化有关。

参考资源链接：[根轨迹分析：渐近线与实轴交点的求解](https://wenku.csdn.net/doc/3kf8d60qqc?spm=1055.2569.3001.10343)

要确定根轨迹与实轴的交点，我们可以利用幅值条件和相位条件来求解。幅值条件表示当闭环传递函数的模等于1时，开环增益K达到临界值，此时根轨迹与实轴相交。通过将特征方程的增益项设置为K，并使其等于1，我们可以展开特征方程，并通过比较相同幂次项的系数来求解s的值，这些s值即为交点的坐标。

例如，对于一个具有标准二阶系统形式的开环传递函数G(s)H(s) = K/(s^2 + 2ζω_n s + ω_n^2)，其特征方程为1 + K/(s^2 + 2ζω_n s + ω_n^2) = 0。当|G(s)H(s)| = 1时，根轨迹与实轴相交。对于不同的ζ值，我们可以通过求解这个特征方程来找到交点。如果阻尼比ζ较低，可能没有交点，系统可能在某些增益下变得不稳定；而较高的阻尼比可能导致系统稳定，但响应速度变慢。

理解根轨迹与实轴交点的概念及其对系统稳定性的影响，对于控制工程师来说至关重要，因为它涉及到系统设计和调整增益K以优化性能。如果你希望深入了解根轨迹的绘制过程、特征根分析以及如何应用这些概念来分析和设计控制系统，建议阅读《根轨迹分析：渐近线与实轴交点的求解》。这本书详细介绍了渐近线与实轴交点的求解方法，并深入探讨了二阶系统标准式和根轨迹的定义，是控制系统分析的实用资源。

参考资源链接：[根轨迹分析：渐近线与实轴交点的求解](https://wenku.csdn.net/doc/3kf8d60qqc?spm=1055.2569.3001.10343)