用C++完成伯努利错装信封问题

伯努利错装信封问题是概率论中的一道经典题目，它描述了在一个有n个编号分别为1到n的信封中随机放置一枚金币的情况。问题的核心是确定哪种方法最有可能找到最大的金币所在的信封。有一种著名的解决方案是通过比较：

1. 首先，将第一个信封打开，如果里面包含最大的号码，就直接找到了最大值。
2. 否则，假设第i个信封是最小的，然后将它与其他未查看的信封（除了第一个）中的最大信封装在一起，形成新的集合。
3. 再次随机选择一个新的信封，将其与剩余信封中的最大值交换。

这个过程可以保证每一步都有50%的概率提高当前信封中金币的数量。所以理论上，平均需要进行log2(n)次比较就能找出最大金币。

以下是简单的C++实现：

#include <iostream>
#include <cstdlib> // for rand and srand

int findMax(int n) {
    int max_val = 1; // 初始化最大值为1
    int current_val = 1 + rand() % (n - 1); // 生成一个1到n-1的随机数作为初始信封数值

    while (max_val != current_val) {
        int temp = max_val;
        max_val = std::max(max_val, current_val);
        current_val = temp + rand() % (n - max_val + 1); // 更新当前信封值
    }

    return max_val;
}

int main() {
    srand(time(0)); // 设置随机种子
    int num_trials = 100000; // 测试次数
    int trials[100]; // 存储结果数组
    for (size_t i = 0; i < num_trials; ++i) {
        trials[i] = findMax(i + 1); // 对每个试验运行算法
    }
    // 输出平均值或统计分析结果
    double average = static_cast<double>(std::accumulate(trials, trials + num_trials, 0)) / num_trials;
    std::cout << "Average number of comparisons: " << average << std::endl;

    return 0;
}