最小生成树的求解 算法分析

最小生成树是一种在加权无向图中生成树的算法，它的目标是找到连接所有节点的最小总权重的树。下面是Prim算法的算法分析：

1. 算法思路：
- 从一个任意节点开始，将其加入生成树中。
- 找到与生成树相邻的边中权重最小的边，将其连接的节点加入生成树中。
- 重复上一步，直到所有节点都被加入生成树中。

2. 算法实现：
- 使用一个数组记录每个节点是否已经被加入生成树中。
- 使用一个数组记录每个节点与生成树相邻的边中权重最小的边。
- 使用一个优先队列（最小堆）记录所有与生成树相邻的边，按照权重从小到大排序。
- 从任意节点开始，将其加入生成树中，并将其与生成树相邻的边加入优先队列中。
- 从优先队列中取出权重最小的边，将其连接的节点加入生成树中，并将其与生成树相邻的边加入优先队列中。
- 重复上一步，直到所有节点都被加入生成树中。

3. 时间复杂度：
- Prim算法的时间复杂度为O(ElogV)，其中E为边数，V为节点数。

以下是Python实现Prim算法的代码：

import heapq

def prim(graph):
    n = len(graph)
    visited = [False] * n
    min_edges = [float('inf')] * n
    min_edges[0] = 0
    pq = [(0, 0)]
    total_weight = 0

    while pq:
        weight, u = heapq.heappop(pq)
        if visited[u]:
            continue
        visited[u] = True
        total_weight += weight
        for v, w in graph[u]:
            if not visited[v] and w < min_edges[v]:
                min_edges[v] = w
                heapq.heappush(pq, (w, v))

    if all(visited):
        return total_weight
    else:
        return "impossible"