python求解非线性微分方程

### 使用 `scipy.integrate.odeint` 求解非线性微分方程

对于非线性微分方程的求解，在 Python 中可以利用 SciPy 库中的 `scipy.integrate.odeint` 函数。此函数用于数值积分常微分方程 (ODE)，适用于一阶以及通过转换得到的一阶形式的高阶微分方程。

下面展示了一个具体的例子，说明如何设置并解决一个简单的非线性微分方程：

#### 定义微分方程
考虑如下非线性的洛伦兹吸引子模型作为实例：
\[ \frac{dx}{dt} = \sigma(y-y \\
\frac{dz}{dt} = xy-\beta z \]

其中 \( \sigma=10,\ \rho=28,\ \beta=\frac{8}{3}\ ) 是参数[^1]。

from scipy.integrate import odeint
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt


def lorenz_system(state, t):
    sigma = 10.0
    rho = 28.0
    beta = 8/3
    
    x, y, z = state  # 解包状态向量
    dx_dt = sigma * (y - x)
    dy_dt = x * (rho - z) - y
    dz_dt = x * y - beta * z
    
    return [dx_dt, dy_dt, dz_dt]


initial_state = [1., 1., 1.]  # 初始条件
time_points = np.linspace(0, 50, 2500)

solution = odeint(lorenz_system, initial_state, time_points)

fig = plt.figure()
ax = fig.gca(projection='3d')
ax.plot(solution[:, 0], solution[:, 1], solution[:, 2])
plt.show()

这段代码实现了对给定初始条件下洛伦兹系统的模拟，并绘制了三维相图来表示随时间变化的状态轨迹。