对于由 n 个数组成的序列，设计求最长单调递增子序列问题的动态规划算法的递推式（给出必要的文字说 明）。

为了设计求最长单调递增子序列问题的动态规划算法的递推式，我们可以定义一个dp数组，其中dp[i]表示以第i个元素结尾的最长递增子序列的长度。

我们可以使用以下递推关系来计算dp[i]的值：

dp[i] = 1 + max(dp[j])，其中 j < i 且 nums[j] < nums[i]

换句话说，我们遍历到第i个元素时，我们需要找到前面所有满足条件nums[j] < nums[i]的元素的最长递增子序列长度，并在其中选择最大的长度，然后再加上1（因为我们要包含当前元素）。

基于这个递推关系，我们可以从左到右遍历整个数组，依次计算dp数组的值。最终，dp数组中的最大值即为所求的最长递增子序列的长度。

希望这个回答能对您有所帮助！

相关问题

设计一个算法，计算由n个整数组成的序列的最长单调递增子序列的长度。

这个问题可以用动态规划的思路来解决。具体来说，我们可以定义一个数组 $dp$，其中 $dp[i]$ 表示以第 $i$ 个元素为结尾的最长单调递增子序列的长度。显然，这个子序列至少包含第 $i$ 个元素本身，因此 $dp[i]$ 的初始值为 1。

接下来，我们考虑如何递推计算 $dp[i]$。对于任意 $j < i$，如果第 $j$ 个元素小于第 $i$ 个元素，那么可以将第 $i$ 个元素加入以第 $j$ 个元素为结尾的最长单调递增子序列中，从而得到以第 $i$ 个元素为结尾的更长的单调递增子序列。因此，我们可以得到如下的递推式：

$$dp[i] = \max_{j<i, a_j<a_i} \{dp[j] + 1\}$$

也就是说，$dp[i]$ 的值等于所有满足 $j<i$ 且 $a_j<a_i$ 的 $dp[j]+1$ 中的最大值。这个递推式的意义是，我们枚举所有可能的最长单调递增子序列的倒数第二个元素 $j$，然后将第 $i$ 个元素加入到以第 $j$ 个元素为结尾的最长单调递增子序列中，从而得到以第 $i$ 个元素为结尾的最长单调递增子序列，并取所有可能的情况中的最大值。

最终的答案就是 $dp$ 数组中的最大值。时间复杂度为 $O(n^2)$。

以下是 Python 代码实现：

def longest_increasing_subsequence(nums):
    n = len(nums)
    dp = [1] * n
    for i in range(1, n):
        for j in range(i):
            if nums[j] < nums[i]:
                dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)
    return max(dp)

用c++设计一个算法，计算由n个整数组成的序列的最长单调递增子序列的长度。

可以使用动态规划来解决这个问题。我们可以定义一个数组dp，其中dp[i]表示以第i个元素为结尾的最长单调递增子序列的长度。那么我们可以递推地计算每个dp[i]的值，具体步骤如下：

1. 初始化dp数组，将所有元素的dp值都设为1，因为每个元素本身都可以看作一个长度为1的单调递增子序列。

2. 枚举i从1到n-1，对于每个i，枚举j从0到i-1，如果第j个元素小于第i个元素，则更新dp[i]的值为dp[j]+1和dp[i]中的较大值。

3. 最后，dp数组中的最大值就是整个序列的最长单调递增子序列的长度。

下面是C++代码实现：

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
    int n = nums.size();
    vector<int> dp(n, 1);
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < i; j++) {
            if (nums[j] < nums[i]) {
                dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
            }
        }
    }
    int ans = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        ans = max(ans, dp[i]);
    }
    return ans;
}

int main() {
    vector<int> nums = {10, 9, 2, 5, 3, 7, 101, 18};
    cout << lengthOfLIS(nums) << endl;
    return 0;
}

输出结果为4，表示序列{2, 3, 7, 101}是最长的单调递增子序列，长度为4。