设计一个算法，计算由n个整数组成的序列的最长单调递增子序列的长度。

这个问题可以用动态规划的思路来解决。具体来说，我们可以定义一个数组 $dp$，其中 $dp[i]$ 表示以第 $i$ 个元素为结尾的最长单调递增子序列的长度。显然，这个子序列至少包含第 $i$ 个元素本身，因此 $dp[i]$ 的初始值为 1。

接下来，我们考虑如何递推计算 $dp[i]$。对于任意 $j < i$，如果第 $j$ 个元素小于第 $i$ 个元素，那么可以将第 $i$ 个元素加入以第 $j$ 个元素为结尾的最长单调递增子序列中，从而得到以第 $i$ 个元素为结尾的更长的单调递增子序列。因此，我们可以得到如下的递推式：

$$dp[i] = \max_{j<i, a_j<a_i} \{dp[j] + 1\}$$

也就是说，$dp[i]$ 的值等于所有满足 $j<i$ 且 $a_j<a_i$ 的 $dp[j]+1$ 中的最大值。这个递推式的意义是，我们枚举所有可能的最长单调递增子序列的倒数第二个元素 $j$，然后将第 $i$ 个元素加入到以第 $j$ 个元素为结尾的最长单调递增子序列中，从而得到以第 $i$ 个元素为结尾的最长单调递增子序列，并取所有可能的情况中的最大值。

最终的答案就是 $dp$ 数组中的最大值。时间复杂度为 $O(n^2)$。

以下是 Python 代码实现：

def longest_increasing_subsequence(nums):
    n = len(nums)
    dp = [1] * n
    for i in range(1, n):
        for j in range(i):
            if nums[j] < nums[i]:
                dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)
    return max(dp)