动态规划解析:自底向上解子序列问题
需积分: 0 20 浏览量
更新于2024-08-13
收藏 529KB PPT 举报
"自底向上递推-dp之子序列"
在动态规划领域,子序列问题是常见的算法问题,特别是最长公共子序列(Longest Common Subsequence, LCS)和最长上升子序列(Longest Increasing Subsequence, LIS)。这些问题是通过自底向上的递推方法来解决的,这种方法可以有效地避免重复计算,提高效率。
1. **最长公共子序列 (LCS)**:
- LCS 是两个字符串 x 和 y 的子序列,但不需要连续,且长度最长。定义 c[i, j] 为 x[1..i] 和 y[1..j] 的 LCS 长度。
- 递推公式:如果 x[i] = y[j],那么 c[i, j] = c[i-1, j-1] + 1;否则,c[i, j] = max(c[i-1, j], c[i, j-1])。
- 自底向上递推时,按照 i 和 j 的递增顺序计算,只需要存储相邻两行的数据,空间复杂度为 O(min{m, n}),其中 m 和 n 分别是两个字符串的长度。
- 初始化问题:通常,边界条件为 c[0, j] = 0 和 c[i, 0] = 0,表示空串与任意字符串的LCS长度为0。
2. **最长上升子序列 (LIS)**:
- LIS 是一个序列中的一个子序列,其元素是严格递增的,且长度最长。对于一个数组,可以找到这样的子序列。
- 通常使用二分查找和单调栈或队列来优化求解,时间复杂度可以达到 O(n log n)。
- 自底向上递推时,对于每个元素,找到之前所有元素中最大的一个,使得当前元素大于它,然后更新这个最大值,从而得到每个位置的LIS长度。
3. **动态规划的关键点**:
- **最优子结构**:问题的最优解可以通过其子问题的最优解组合得出。
- **重叠子问题**:问题的解包含大量重复的子问题,这是动态规划能发挥作用的关键。
4. **记忆化 (Memoization)**:
- 为了避免重复计算,可以使用记忆化技术存储已经计算过的子问题结果,从而提高效率。
- 在自底向上递推过程中,记忆化通常是自动实现的,因为每个状态只计算一次。
5. **代码示例**:
- 代码中使用了二维数组 dp 来存储状态,对于 LCS 问题,dp[i][j] 表示 x[1..i] 和 y[1..j] 的 LCS 长度。
- 在 PKU1936 这个题目中,虽然没有给出完整的代码,但可以看到使用了动态规划的思路,定义了一个二维数组 dp 并进行了初始化。
6. **练习题推荐**:
- HDU1159 和 PKU1936 都是关于 LCS 的问题,适合用来练习动态规划和LCS的解题技巧。
动态规划的子序列问题通过自底向上递推的方法可以高效地求解,同时注意问题的最优子结构和重叠子问题特性,以及初始化和空间优化。通过实践和练习,可以更好地理解和掌握这些概念。
2022-08-03 上传
2024-04-10 上传
2011-01-06 上传
点击了解资源详情
点击了解资源详情
点击了解资源详情
点击了解资源详情
点击了解资源详情
点击了解资源详情
辰可爱啊
- 粉丝: 15
- 资源: 2万+
最新资源
- ES管理利器:ES Head工具详解
- Layui前端UI框架压缩包:轻量级的Web界面构建利器
- WPF 字体布局问题解决方法与应用案例
- 响应式网页布局教程:CSS实现全平台适配
- Windows平台Elasticsearch 8.10.2版发布
- ICEY开源小程序:定时显示极限值提醒
- MATLAB条形图绘制指南:从入门到进阶技巧全解析
- WPF实现任务管理器进程分组逻辑教程解析
- C#编程实现显卡硬件信息的获取方法
- 前端世界核心-HTML+CSS+JS团队服务网页模板开发
- 精选SQL面试题大汇总
- Nacos Server 1.2.1在Linux系统的安装包介绍
- 易语言MySQL支持库3.0#0版全新升级与使用指南
- 快乐足球响应式网页模板:前端开发全技能秘籍
- OpenEuler4.19内核发布:国产操作系统的里程碑
- Boyue Zheng的LeetCode Python解答集