设a, =(1+x,1,1)",a2 =(1,1+21)",as= (1.1,1+i)".β= (0.,23)7,当入取什么值时:(1)p不能由a:,a2,Q3线性表示? (2β可由a; .a2; .as.线性表示,进写出该表示式号
时间: 2023-09-29 22:06:43 浏览: 41
根据题意,我们可以列出以下矩阵:
A =
[ 1+x 1 1 ]
[ 1 1+2i 0 ]
[ 1 1+i 0 ]
B = [ 0. 2.3 ]
(1) 如果p不能由a1, a2, a3线性表示,那么矩阵A是奇异矩阵,即它的行列式为0。因此我们可以求出A的行列式:
| A | = (1+x) (1+2i) (0) + (1) (1) (1+i) + (1) (0) (1-2i)
= -2i(x+2)
当且仅当x = -2时,|A| = 0,即A是奇异矩阵,p不能由a1, a2, a3线性表示。
(2) 我们可以将B表示为a1, a2, a3的线性组合:
B = k1 a1 + k2 a2 + k3 a3
我们可以将A和B写成增广矩阵的形式:
[ 1+x 1 1 | 0 ]
[ 1 1+2i 0 | 2.3 ]
[ 1 1+i 0 | 0 ]
使用高斯-约旦消元法,将A化为阶梯矩阵:
[ 1 (1+x)^-1 (1+x)^-1 ]
[ 0 1 -2i/(1+x) ]
[ 0 0 (1+i)-(1+x)^-1(1+2i) ]
因为A是可逆矩阵,所以它的阶梯矩阵也是可逆矩阵。因此,我们可以通过阶梯矩阵的逆来求解线性组合的系数k1, k2, k3。
A的阶梯矩阵的逆为:
[ 1 -1 -i ]
[ 0 1 -2i/(1+x) ]
[ 0 0 (1+x)^2/(x^2+4x+5) ]
因此,
[ k1 ] [ 1 -1 -i ] [ 0 ]
[ k2 ] = [ 0 1 -2i/(1+x) ] x [ 2.3 ]
[ k3 ] [ 0 0 (1+x)^2/(x^2+4x+5) ] [ 0 ]
解得:
k1 = (1+x)^-1 (2.3 - k2 - k3)
k2 = (1+x)^-1 (2.3 + 2i/(1+x) k3)
k3 = (1+x)^2/(x^2+4x+5) B3
因此,
B = k1 a1 + k2 a2 + k3 a3
= (1+x)^-1 (2.3 - k2 - k3) a1 + (1+x)^-1 (2.3 + 2i/(1+x) k3) a2 + (1+x)^2/(x^2+4x+5) B3 a3
其中,a1 = (1+x, 1, 1)', a2 = (1, 1+2i, 0)', a3 = (1+1i, 1+i, 0)'。