Ea(1,1): y2=x3+x+1 (mod 23)， 设P=(3,10), Q=(9,7)， 求圆锥曲线的所有点集。

要求出圆锥曲线的所有点集，需要遍历椭圆曲线上的所有点。具体方法是，从椭圆曲线的一个点出发，计算它和其他点的加法，直到遍历完整个椭圆曲线上的点。

根据题意，椭圆曲线为 y^2 = x^3 + x + 1 (mod 23)，点P为 (3, 10)，点Q为 (9, 7)。我们将椭圆曲线转化为加法群上的形式。

下面是椭圆曲线上的所有点：

(0, 1), (0, 22), (1, 3), (1, 20), (4, 6), (4, 17), (9, 7), (9, 16), (10, 9), (10, 14), (12, 4), (12, 19), (15, 2), (15, 21), (16, 4), (16, 19), (18, 3), (18, 20), (22, 1), (22, 22), O

其中 O 表示无穷远点。

相关问题

Ea(1,1): y2=x3+x+1 (mod 23)， 设P=(3,10), Q=(9,7)， 求-P, P+Q, 2P。

同样地，我们需要将椭圆曲线转化为加法群上的形式，然后根据题目中给定的点进行求解。

根据题意，椭圆曲线为 y^2 = x^3 + x + 1 (mod 23)，点P为 (3, 10)，点Q为 (9, 7)。我们将椭圆曲线转化为加法群上的形式，可以得到：

- P + P = 2P
- P + Q
- -P

现在我们逐个求解：

1. 求 2P

首先求出斜率 k = (3x1^2 + 1) / (2y1) = (3*3^2 + 1) / (2*10) = 5 (mod 23)。然后用斜率公式计算 P + P：

x3 = k^2 - 2x1 = 5^2 - 2*3 = 16 (mod 23)
y3 = k(x1 - x3) - y1 = 5(3 - 16) - 10 = 3 (mod 23)

所以 2P = (16, 3)。

2. 求 P + Q

首先求出斜率 k = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (7 - 10) / (9 - 3) = 14 (mod 23)。然后用斜率公式计算 P + Q：

x3 = k^2 - x1 - x2 = 14^2 - 3 - 9 = 12 (mod 23)
y3 = k(x1 - x3) - y1 = 14(3 - 12) - 10 = 14 (mod 23)

所以 P + Q = (12, 14)。

3. 求 -P

由于点的加法是满足交换律的，因此 -P 等于 P 关于x轴的对称点，即 (3, -10)。

Ea(1, 1): y2=x3+x+l (mod 23)，设P=(3,10),Q=(9,7)，求-P,P+Q，2P。

首先，我们需要将椭圆曲线转化为加法群上的形式。根据定义，一个椭圆曲线上的点加上另一个点等于连接这两个点的线和椭圆曲线的交点关于x轴的对称点。具体实现时，可以根据两个点的位置关系分类讨论，这里不再赘述。

根据题意，椭圆曲线为 y^2 = x^3 + x + 1 (mod 23)，点P为 (3, 10)，点Q为 (9, 7)。我们将椭圆曲线转化为加法群上的形式，可以得到：

- P + P = 2P
- P + Q
- -P

现在我们逐个求解：

1. 求 2P

首先求出斜率 k = (3x1^2 + 1) / (2y1) = (3*3^2 + 1) / (2*10) = 5 (mod 23)。然后用斜率公式计算 P + P：

x3 = k^2 - 2x1 = 5^2 - 2*3 = 16 (mod 23)
y3 = k(x1 - x3) - y1 = 5(3 - 16) - 10 = 3 (mod 23)

所以 2P = (16, 3)。

2. 求 P + Q

首先求出斜率 k = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (7 - 10) / (9 - 3) = 22 (mod 23)。然后用斜率公式计算 P + Q：

x3 = k^2 - x1 - x2 = 22^2 - 3 - 9 = 10 (mod 23)
y3 = k(x1 - x3) - y1 = 22(3 - 10) - 10 = 20 (mod 23)

所以 P + Q = (10, 20)。

3. 求 -P

由于点的加法是满足交换律的，因此 -P 等于 P 关于x轴的对称点，即 (3, -10)。