5.最长上升子序列nlogn

最长上升子序列问题是指在一个给定的数列中，找到一个最长的子序列使得这个子序列中的元素是严格递增的。最长上升子序列问题可以通过动态规划来解决，但是其时间复杂度为 O(n^2)。为了降低时间复杂度，可以使用一种叫做“Patience Sorting”的方法，其时间复杂度为 O(nlogn)。

Patience Sorting方法的基本思想是，将原始序列中的每个元素尽可能地放到堆栈中（规则：新元素插入最左边的堆栈，如果无法插入则新建一个堆栈），这样得到的堆栈数量即为最长上升子序列的长度。由于每个元素只会被放入一个堆栈中，因此堆栈数量不会超过n，所以时间复杂度为O(nlogn)。

相关问题

最长上升子序列nlogn

最长上升子序列（Longest Increasing Subsequence）问题是一个经典的动态规划问题。在给定一个序列的情况下，需要找到其中一个最长的上升子序列（子序列可以不连续）的长度。

一种高效的解决方案是使用动态规划算法，其时间复杂度为O(nlogn)。下面是该算法的详细步骤：

1. 创建一个长度为n的数组dp，用于存储以第i个元素结尾的最长上升子序列的长度。
2. 初始化dp数组中所有元素为1，因为每个单独的元素都可以视为一个长度为1的上升子序列。
3. 从左到右遍历数组，对于每个元素nums[i]，执行以下操作：
- 在0到i-1的范围内，找出所有比nums[i]小的元素nums[j]。
- 对于每个找到的nums[j]，更新dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)。
- 这一步的目的是找到以nums[i]结尾的最长上升子序列的长度，并将其存储在dp[i]中。
4. 遍历dp数组，找到其中最大的值，即为所求的最长上升子序列的长度。

这种算法使用了二分查找来加速寻找比当前元素小的元素过程，从而将时间复杂度降低到了O(nlogn)。

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对比基于动态规划编写计算最长上升子序列方法和基于贪心算法和二分搜索编写计算最长上升子序列方法在不同数据量下运行时间的差异

基于动态规划的算法是一种自底向上的算法，它需要计算所有可能的子问题，然后再根据子问题的解来计算原问题的解。因此，它的时间复杂度是 O(n^2)。

而基于贪心算法和二分搜索的算法则是一种自顶向下的算法。它维护一个长度为 i 的上升子序列的最小末尾值，对于每个新的元素，如果它比当前最小末尾值大，就将它加入到上升子序列中，否则就用二分搜索找到第一个大于等于它的元素，并将它替换为当前元素。该算法的时间复杂度是 O(nlogn)。

因此，在数据量较小的情况下，两种算法的运行时间差异不太明显，但是随着数据量的增加，基于动态规划的算法的运行时间将呈指数级增长，而基于贪心算法和二分搜索的算法的运行时间则仅呈对数级增长，因此它在处理大规模数据时表现更优。