动态规划最长上升子序列

动态规划最长上升子序列问题是指给定一个长度为n的数列，求它的最长上升子序列长度。其中，最长上升子序列是指在原数列中，找到一个严格递增的子序列，且该子序列元素个数最多。

动态规划最长上升子序列算法如下：

1. 定义状态：设dp[i]表示以i结尾的最长上升子序列长度。

2. 初始化状态：dp[i]=1，因为任何一个数都可以看做长度为1的上升子序列。

3. 状态转移方程：对于每个i，我们需要枚举其前面所有比它小的数j，然后更新dp[i]的值。即如果nums[j]<nums[i]，那么dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1)。

4. 最终结果：最长上升子序列的长度为max(dp[i])，其中0<=i<n。

下面是Python代码实现：

def lengthOfLIS(nums: List[int]) -> int:
    n = len(nums)
    dp = [1] * n
    for i in range(1, n):
        for j in range(i):
            if nums[j] < nums[i]:
                dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)
    return max(dp)

时间复杂度为O(n^2)，空间复杂度为O(n)。如果需要更快的算法，可以使用二分查找将时间复杂度优化到O(nlogn)。

相关问题

动态规划：最长上升子序列

最长上升子序列（Longest Increasing Subsequence，简称 LIS）问题是指给定一个序列，找到其中最长的严格递增子序列。

例如，对于序列 [10, 9, 2, 5, 3, 7, 101, 18]，最长上升子序列为 [2, 5, 7, 101]，长度为 4。

动态规划算法是解决 LIS 问题的常用方法。设 dp[i] 表示以第 i 个元素为结尾的最长上升子序列的长度。则有状态转移方程：

dp[i] = max(dp[j] + 1)，其中 j < i 且 nums[j] < nums[i]

即对于每个元素 i，遍历其之前的所有元素 j，如果 nums[j] < nums[i]，则说明可以将 i 加入以 j 结尾的 LIS 中，从而得到以 i 结尾的 LIS。取所有可能的 LIS 长度的最大值即为所求。

最终答案为所有 dp[i] 中的最大值。时间复杂度为 O(n^2)。

动态规划求最长上升子序列

最长上升子序列（LIS）是一个非常重要的问题，它在许多应用中都有广泛的应用，如数据压缩、图形识别、生物信息学等领域。下面是用动态规划求解最长上升子序列的一种常见方法。

定义状态：设 dp[i] 表示以第 i 个元素为结尾的最长上升子序列的长度。

状态转移方程：对于第 i 个元素，我们需要找到前面比它小的元素中，以其为结尾的最长上升子序列长度最大的那个元素 j，然后在这个基础上加上它本身就是以 i 为结尾的最长上升子序列的长度了，即 dp[i]=max{dp[j]+1}，其中 j<i 且 a[j]<a[i]。

最终答案：最长上升子序列的长度就是 dp 数组中的最大值，即 LIS=max{dp[i]}。

下面是一个示例程序实现：

def LIS(nums):
    n = len(nums)
    dp = [1] * n
    for i in range(1, n):
        for j in range(i):
            if nums[j] < nums[i]:
                dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)
    return max(dp)

其中 nums 是一个数组，表示待求解的最长上升子序列。程序的时间复杂度为 O(n^2)，空间复杂度为 O(n)。