两个向量叉乘结果的模和什么有关

两个向量叉乘的结果的模长等于这两个向量所构成的平行四边形的面积，也等于这两个向量所在的平面的面积。具体地，设两个三维向量为 $\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$ 和 $\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)$，则它们的叉积 $\vec{a} \times \vec{b}$ 的模长为：

$$
|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \sin{\theta}
$$

其中，$\theta$ 是 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 所夹的夹角。因此，两个向量叉乘结果的模长与这两个向量的模长和它们夹角的正弦值有关。

相关问题

两个向量叉乘结果是向量吗

在向量代数中，两个向量的叉乘（也称为向量积）的结果是一个新的向量，而不是标量。这个新生成的向量与原两个向量垂直，并且其大小等于原两个向量长度的乘积与它们之间的角度余弦的相反值。这个操作在三维空间中特别有用，因为它提供了一个在三维空间中确定唯一方向的方法。

具体来说，对于三维空间中的两个非零向量 \(\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)\) 和 \(\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)\)，它们的叉乘 \(\vec{c} = \vec{a} \times \vec{b}\) 可以用下面的公式计算：

\[
\vec{c} = (a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1)
\]

所以，向量叉乘是生成了一个新的向量 \(\vec{c}\)，其结果满足向量的所有性质，如长度、方向和线性组合等。如果你有关于这个运算的其他疑问，或者需要了解其在实际问题中的应用，请告诉我，我会进一步解释。

为什么两个向量叉乘结果平行四边形面积

两个向量的叉积的结果是一个向量，其大小等于两个向量所张成的平行四边形的面积，方向垂直于这个平行四边形的平面，并且遵循右手法则。

为什么叉积的大小等于平行四边形的面积呢？因为两个向量的叉积的大小等于这两个向量所张成的平行四边形的面积。这个结论可以从向量的投影和叉积的定义出发来推导。

我们可以将两个向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 投影到它们所张成的平行四边形的两个相邻边上，得到两个矩形的面积，如下图所示：


两个矩形的面积分别为：

$S_1 = \Vert \vec{a} \Vert \cdot \Vert \vec{b} \cdot \sin \theta \Vert$

$S_2 = \Vert \vec{b} \Vert \cdot \Vert \vec{a} \cdot \sin \theta \Vert$

其中，$\theta$ 是两个向量之间的夹角。因为 $\vec{a} \cdot \sin \theta$ 和 $\vec{b} \cdot \sin \theta$ 都是这两个向量所张成的平行四边形的高，所以这两个矩形的面积相等，即 $S_1 = S_2$。

又因为两个向量的叉积的大小等于两个矩形的面积之和，即 $\Vert \vec{a} \times \vec{b} \Vert = S_1 + S_2$，所以 $\Vert \vec{a} \times \vec{b} \Vert = \Vert \vec{a} \Vert \cdot \Vert \vec{b} \cdot \sin \theta \Vert$，即两个向量的叉积的大小等于它们所张成的平行四边形的面积。