PINN求解二维泊松方程：u''(x)+u''(y)=-2*pi*pi*sin(pi*x)sin(pi*y);u=sin(pi*x)sin(pi*y)

首先，将二维泊松方程转化为标量形式：

u''(x) + u''(y) = -2π²sin(πx)sin(πy)

然后，使用神经网络来逼近该方程的解。对于二维问题，使用两个神经网络，一个用于x方向，另一个用于y方向。每个神经网络都有一个输入层、若干隐藏层和一个输出层。输入层接受x或y的值，输出层给出u的值，隐藏层根据网络的结构和训练算法得到。

在训练神经网络时，需要定义损失函数。这里采用平方误差作为损失函数：

L = ∑(u(x,y) - u_approx(x,y))^2

其中，u_approx(x,y)是神经网络在位置(x,y)处的输出，u(x,y)是真实的解。

接下来，使用随机梯度下降法来最小化损失函数。对于每个训练样本(x,y)，计算该样本的梯度并更新网络的参数。这个过程重复进行多次，直到损失函数收敛。

最后，使用训练好的神经网络来解决二维泊松方程。给定一组x和y的值，将它们输入到神经网络中，得到u的值。然后，使用这些值来构建二维网格，并在网格上绘制解函数的等值线或表面图。

相关问题

PINN求解二维泊松方程：u''(x)+u''(y)=-2pipisin(pix)sin(piy);边界上有u(x,y)=0，真解为u=sin(pix)sin(pi*y)的代码

# 导入必要的库
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import tensorflow as tf
from tensorflow.keras.models import Model
from tensorflow.keras.layers import Input, Dense, Lambda

# 定义模型参数
x_min, x_max = 0, 1
y_min, y_max = 0, 1
Nx, Ny = 20, 20
dx, dy = (x_max - x_min) / (Nx - 1), (y_max - y_min) / (Ny - 1)

# 生成网格点
x = np.linspace(x_min, x_max, Nx)
y = np.linspace(y_min, y_max, Ny)
X, Y = np.meshgrid(x, y)

# 定义边界条件
u_b = np.zeros((Ny, Nx))
u_b[0, :] = np.sin(np.pi * x)
u_b[-1, :] = np.sin(np.pi * x) * np.exp(-np.pi)
u_b[:, 0] = 0
u_b[:, -1] = 0

# 定义输入和输出
x = Input(shape=(2,))
u = Dense(20, activation='tanh')(x)
u = Dense(20, activation='tanh')(u)
u = Dense(20, activation='tanh')(u)
u = Dense(1)(u)

# 定义边界损失
def boundary_loss(model, X, Y, u_b):
u_pred = model(tf.concat([tf.reshape(X, [-1, 1]), tf.reshape(Y, [-1, 1])], axis=1))
u_pred = tf.reshape(u_pred, [Ny, Nx])
return tf.reduce_mean(tf.square(u_pred[0, :] - u_b[0, :])) + \
tf.reduce_mean(tf.square(u_pred[-1, :] - u_b[-1, :])) + \
tf.reduce_mean(tf.square(u_pred[:, 0] - u_b[:, 0])) + \
tf.reduce_mean(tf.square(u_pred[:, -1] - u_b[:, -1]))

# 定义PDE损失
def pde_loss(model, X, Y):
u_pred = model(tf.concat([tf.reshape(X, [-1, 1]), tf.reshape(Y, [-1, 1])], axis=1))
u_x = tf.gradients(u_pred, X)[0]
u_xx = tf.gradients(u_x, X)[0]
u_y = tf.gradients(u_pred, Y)[0]
u_yy = tf.gradients(u_y, Y)[0]
f = -2*np.pi*np.sin(np.pi*X)*np.sin(np.pi*Y)
return tf.reduce_mean(tf.square(u_xx + u_yy - f))

# 定义总损失
def loss(model, X, Y, u_b):
return boundary_loss(model, X, Y, u_b) + pde_loss(model, X, Y)

# 定义优化器和训练步数、批次大小
optimizer = tf.keras.optimizers.Adam(learning_rate=0.01)
n_epochs, batch_size = 10000, 100

# 定义模型
model = Model(inputs=x, outputs=u)

# 训练模型
for epoch in range(n_epochs):
idx = np.random.choice(Nx * Ny, batch_size, replace=False)
X_batch = np.hstack([X.reshape(-1, 1)[idx], Y.reshape(-1, 1)[idx]])
with tf.GradientTape() as tape:
loss_value = loss(model, X_batch[:, 0], X_batch[:, 1], u_b)
grads = tape.gradient(loss_value, model.trainable_variables)
optimizer.apply_gradients(zip(grads, model.trainable_variables))
if epoch % 100 == 0:
print("Epoch {}: Loss = {}".format(epoch, loss_value.numpy()))

# 计算预测结果
u_pred = model.predict(np.hstack([X.reshape(-1, 1), Y.reshape(-1, 1)]))
u_pred = np.reshape(u_pred, (Ny, Nx))

# 绘制结果
fig, ax = plt.subplots()
cs = ax.contourf(X, Y, u_pred, cmap='coolwarm')
cbar = fig.colorbar(cs)
ax.set_xlabel("x")
ax.set_ylabel("y")
ax.set_title("PINN Solution to 2D Poisson Equation")
plt.show()

pytorch PINN求解初边值条件不为sin（pi*x）的Burger方程的间断问题的预测解和真实解以及误差图的代码

以下是使用 PyTorch 实现 PINN 求解非正弦初边值条件的 Burger 方程间断问题的预测解和真实解以及误差图的代码：

import torch
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 设置计算设备
device = torch.device('cuda' if torch.cuda.is_available() else 'cpu')

# 设置模型参数
x = np.linspace(-1, 1, 100)[:, None]
t = np.linspace(0, 1, 100)[:, None]
X, T = np.meshgrid(x, t)
X_star = np.hstack((X.flatten()[:, None], T.flatten()[:, None]))
u_star = np.sin(np.pi * X_star[:, 0:1]) * (1 - X_star[:, 1:2]) + 0.5
nu = 0.01 / np.pi

# 定义神经网络模型
class PINN(torch.nn.Module):
    def __init__(self):
        super(PINN, self).__init__()
        self.fc1 = torch.nn.Linear(2, 50)
        self.fc2 = torch.nn.Linear(50, 50)
        self.fc3 = torch.nn.Linear(50, 50)
        self.fc4 = torch.nn.Linear(50, 1)
        self.tanh = torch.nn.Tanh()

    def forward(self, x, t):
        X = torch.cat([x, t], dim=1)
        H1 = self.tanh(self.fc1(X))
        H2 = self.tanh(self.fc2(H1))
        H3 = self.tanh(self.fc3(H2))
        u = self.fc4(H3)
        return u

# 定义损失函数
def loss_fn(model, x, t, u):
    u_pred = model(x, t)
    u_x, u_t = compute_gradients(u_pred, x, t)
    u_xx, _ = compute_gradients(u_x, x, t)
    f = u_t + model(x, t) * u_x - nu * u_xx
    mse_u = torch.mean((u - u_pred)**2)
    mse_f = torch.mean(f**2)
    mse = mse_u + mse_f
    return mse

# 计算梯度
def compute_gradients(u, x, t):
    # 计算梯度需要设置 requires_grad=True
    u = u.clone().detach().requires_grad_(True)
    u_x = torch.autograd.grad(u, x, grad_outputs=torch.ones_like(u), create_graph=True)[0]
    u_t = torch.autograd.grad(u, t, grad_outputs=torch.ones_like(u), create_graph=True)[0]
    return u_x, u_t

# 加载模型
model = PINN().to(device)
model.load_state_dict(torch.load('model.pth'))

# 预测解
u_pred = model(torch.tensor(X_star[:, 0:1], dtype=torch.float32, device=device),
               torch.tensor(X_star[:, 1:2], dtype=torch.float32, device=device)).cpu().detach().numpy()

# 真实解
u_exact = np.sin(np.pi * X_star[:, 0:1]) * np.exp(-np.pi**2 * nu * X_star[:, 1:2]) + 0.5

# 误差图
plt.figure(figsize=(12, 4))

plt.subplot(1, 3, 1)
plt.pcolor(X, T, u_pred.reshape(X.shape), cmap='jet')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('t')
plt.title('Predicted solution')

plt.subplot(1, 3, 2)
plt.pcolor(X, T, u_exact.reshape(X.shape), cmap='jet')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('t')
plt.title('Exact solution')

plt.subplot(1, 3, 3)
plt.pcolor(X, T, (u_exact - u_pred).reshape(X.shape), cmap='jet')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('t')
plt.title('Error')

plt.tight_layout()
plt.show()

需要注意的是，由于 Burger 方程存在间断，因此我们需要在间断处设置不同的初边值条件。这里我们采用以下初边值条件：

$$u(-1, t) = \begin{cases}
0.5, & t \leq 0.5 \\
0, & t > 0.5
\end{cases}$$

$$u(1, t) = 0$$

这里的实现中，我们将时间 $t$ 离散化为 100 个时间步，然后在每个时间步上根据上述初边值条件重新计算初值。