$L=-\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1}^{n}y_{ij}\log\hat{y}_{ij}$这是什么
时间: 2023-11-01 17:49:17 浏览: 33
这是交叉熵损失函数(cross-entropy loss function),常用于分类问题。其中,$N$表示样本数,$n$表示类别数,$y_{ij}$表示样本$i$属于第$j$类的真实标签,$\hat{y}_{ij}$表示样本$i$属于第$j$类的预测概率。当模型的预测概率与真实标签不一致时,交叉熵损失函数会给出较大的损失值,反之则会给出较小的损失值。因此,我们可以通过最小化交叉熵损失函数来优化模型,提高分类性能。
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$\dot{V}=-\sum_{i=1}^n m_i k_1 |e_i| |e_i| \leq 0$我没看明白
抱歉,我的表述可能有些含糊。我来解释一下这个式子的含义。
首先,我们知道李雅普诺夫函数的导数$\dot{V}$应该小于等于零,才能证明系统是稳定的。因此,我们需要计算$\dot{V}$的值,看看它是否小于等于零。
根据李雅普诺夫函数的定义,$V=\sum_{i=1}^n V_i(t)$,其中$V_i(t)=\frac{m_i}{2}\sigma_i^2$,$m_i$是一个正常数,用于控制每个维度上的权重。因此,我们可以计算出李雅普诺夫函数的导数为:
$$\begin{aligned} \dot{V} &= \sum_{i=1}^n \frac{d}{dt}\left(\frac{m_i}{2}\sigma_i^2\right) \\ &= \sum_{i=1}^n m_i \sigma_i \dot{\sigma_i} \end{aligned}$$
接下来,我们将滑模面的表达式代入上式,得到:
$$\begin{aligned} \dot{V} &= \sum_{i=1}^n m_i \sigma_i \dot{\sigma_i} \\ &= -\sum_{i=1}^n m_i k_1 \sigma_i |e_i| \\ &= -\sum_{i=1}^n m_i k_1 |e_i| |e_i| \end{aligned}$$
这里用到了滑模控制器的表达式$u_i=-\mathrm{sign}(\sigma_i)k_1|e_i|$。由于$\sigma_i$等于$e_i+\dot{e_i}$,因此$\dot{\sigma_i}=\ddot{e_i}$。将$u_i$的表达式代入$\dot{\sigma_i}$的表达式,可以得到$\dot{\sigma_i}=-k_1|e_i|$,因此$\dot{\sigma_i}$等于$-k_1|e_i|$。将$\dot{\sigma_i}$的表达式代入$\dot{V}$的表达式,可以得到$\dot{V}=-\sum_{i=1}^n m_i k_1 \sigma_i |e_i|=-\sum_{i=1}^n m_i k_1 |e_i| |e_i|$。
由于$k_1$是一个正的常数,而$|e_i|^2$也是非负的,因此$k_1|e_i|^2$是非负的。因此,$k_1|e_i|^2$的符号等于$e_i$的符号,即$\mathrm{sign}(e_i)|e_i|^2$。因为$\mathrm{sign}(e_i)$等于$\mathrm{sign}(\sigma_i)$,所以$-\mathrm{sign}(\sigma_i)|e_i|$的符号与$e_i$相反。因此,$u_i$的符号与$e_i$相反,从而保证了滑模面的稳定性。
因此,我们可以得到$\dot{V}=-\sum_{i=1}^n m_i k_1 |e_i| |e_i| \leq 0$,证明了滑模控制器的李雅普诺夫函数是一个下降函数,即$\dot{V}\leq 0$。
$MSE = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(y_i - \hat{y_i})^2$
这是均方误差(Mean Squared Error)的公式,其中 $n$ 是样本数量,$y_i$ 是第 $i$ 个样本的真实值,$\hat{y_i}$ 是第 $i$ 个样本的预测值。均方误差是一种常用的模型预测误差的度量方法,它衡量了预测值与真实值之间的平均差距的平方。通常情况下,均方误差越小,说明模型的预测越准确。