最大似然估计线性回归

最大似然估计是一种参数估计方法，可用于线性回归模型。在线性回归中，我们假设响应变量y与自变量x之间存在一个线性关系。最大似然估计的目标是找到一组参数，使得给定数据样本下观测到的概率最大化。

具体来说，在线性回归中，我们通常使用高斯分布作为误差项的分布。假设我们的线性回归模型如下：

y = β0 + β1*x + ε

其中，y是响应变量，x是自变量，β0和β1是待估计的参数，ε是服从均值为0、方差为σ^2的高斯分布的误差项。

我们可以将观测到的数据表示为{(xi, yi)}，其中i表示第i个样本。最大似然估计的思想是找到一组参数，使得给定数据下的观测到的概率最大化。

在线性回归中，我们假设各个样本之间是独立同分布的，即每个样本的观测值是相互独立的。根据高斯分布的概率密度函数，我们可以写出给定参数下每个观测值的概率：

P(yi | xi, β0, β1) = (1/√(2πσ^2)) * exp(-(yi - (β0 + β1*xi))^2 / (2σ^2))
最大似然估计的目标是最大化所有样本的概率乘积，即：

L(β0, β1) = ∏(1/√(2πσ^2)) * exp(-(yi - (β0 + β1*xi))^2 / (2σ^2))

为了方便计算，通常取对数转化为求和的形式，即对数似然函数：

log L(β0, β1) = Σ(log(1/√(2πσ^2)) - (yi - (β0 + β1*xi))^2 / (2σ^2))

最大似然估计即为找到使得对数似然函数取得最大值的参数值。可以通过最优化算法（如梯度下降）来求解最大似然估计。

最大似然估计的结果会给出最符合观测数据的参数估计值，使得模型能够最好地解释数据。