设B是n阶对称矩阵且B2= B (此类矩阵都称为投影矩阵),对任意给定的n维列向量y∈R,令x= By, z=y-x,证明: z与x正交.

首先，根据矩阵B是对称矩阵且B²=B，可知B是一个投影矩阵。因此，对于任意的向量y，都有x=By是y在B的列空间上的投影向量。

我们需要证明的是z=y-x与x正交，即z^T x=0。

根据向量的投影定义，向量y可以表示为y=x+z，其中x是y在B的列空间上的投影向量，z是y在B的零空间上的投影向量。

因此，我们有Bz=0，因为z在B的零空间上。

另一方面，我们有Bx=x，因为x在B的列空间上。

因此，z^T x = (y-x)^T x = y^T x - x^T x = y^T x - x^T Bx

= y^T x - x^T (B² y) = y^T x - x^T (By) = y^T x - x^T x

= (y-x)^T x = z^T x

因此，z与x是正交的。

相关问题

设B是n阶对称矩阵且B²=B（此类矩阵都称为投影矩阵），对任意给定的n维列向量y∈Rⁿ，令y拔=By，z=y-y拔，证明z与y拔正交

设y拔=By，则B²y=B(By)=y拔，由于B是对称矩阵，所以B的特征值为0或1。

对于任意的n维列向量y∈Rⁿ，有：

zᵀy拔 = (y - y拔)ᵀy拔 = yᵀy - y拔ᵀy拔

因为B是投影矩阵，所以y拔=By，所以y拔=B²y=By，因此有y拔ᵀy拔=yᵀy拔。

将上式代入zᵀy拔中得：

zᵀy拔 = yᵀy - yᵀy拔 = yᵀ(y - y拔) = yᵀz

因此z与y拔正交。

已知Ax=b，其中A是一个nxn的方阵，x是一个n维列向量，b是任意一个n维列向量。先用高斯约旦法求出x，然后提取x的系数，求出A的逆矩阵。如何用python实现

可以使用Python的NumPy库来实现高斯约旦法和矩阵求逆的操作。下面是一个示例代码：

import numpy as np

# 定义高斯约旦法函数
def gauss_jordan(A, b):
    n = len(A)
    # 构造增广矩阵
    aug = np.concatenate((A, b), axis=1)
    # 高斯消元
    for i in range(n):
        # 将对角线元素归一
        aug[i] = aug[i] / aug[i, i]
        # 将下方元素消成0
        for j in range(i+1, n):
            aug[j] = aug[j] - aug[i] * aug[j, i]
        # 将上方元素消成0
        for j in range(i):
            aug[j] = aug[j] - aug[i] * aug[j, i]
    # 返回解向量
    return aug[:, n:]

# 求解逆矩阵
def inverse_matrix(A):
    n = len(A)
    # 构造单位矩阵
    I = np.eye(n)
    # 对每一列进行高斯约旦消元
    cols = []
    for i in range(n):
        col = gauss_jordan(A, I[:, i])
        cols.append(col.flatten())
    # 将列向量拼成矩阵
    inv = np.array(cols).T
    return inv

# 例子
A = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])
b = np.array([[1], [2], [3]])
x = gauss_jordan(A, b)
print("x = \n", x)
A_inv = inverse_matrix(A)
print("A_inv = \n", A_inv)

这个例子中，我们定义了一个`gauss_jordan`函数，用来实现高斯约旦法求解方程组的解。然后我们定义了一个`inverse_matrix`函数，用来求解矩阵的逆。在`inverse_matrix`函数中，我们对每一列向量都使用高斯约旦法求解，最终将所有的列向量拼成一个矩阵，即为原矩阵的逆矩阵。