设B是n阶对称矩阵且B2= B (此类矩阵都称为投影矩阵),对任意给定的n维列向量y∈R,令x= By, z=y-x,证明: z与x正交.
时间: 2024-02-26 17:54:08 浏览: 34
首先,根据矩阵B是对称矩阵且B²=B,可知B是一个投影矩阵。因此,对于任意的向量y,都有x=By是y在B的列空间上的投影向量。
我们需要证明的是z=y-x与x正交,即z^T x=0。
根据向量的投影定义,向量y可以表示为y=x+z,其中x是y在B的列空间上的投影向量,z是y在B的零空间上的投影向量。
因此,我们有Bz=0,因为z在B的零空间上。
另一方面,我们有Bx=x,因为x在B的列空间上。
因此,z^T x = (y-x)^T x = y^T x - x^T x = y^T x - x^T Bx
= y^T x - x^T (B² y) = y^T x - x^T (By) = y^T x - x^T x
= (y-x)^T x = z^T x
因此,z与x是正交的。
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设B是n阶对称矩阵且B²=B(此类矩阵都称为投影矩阵),对任意给定的n维列向量y∈Rⁿ,令y拔=By,z=y-y拔,证明z与y拔正交
设y拔=By,则B²y=B(By)=y拔,由于B是对称矩阵,所以B的特征值为0或1。
对于任意的n维列向量y∈Rⁿ,有:
zᵀy拔 = (y - y拔)ᵀy拔 = yᵀy - y拔ᵀy拔
因为B是投影矩阵,所以y拔=By,所以y拔=B²y=By,因此有y拔ᵀy拔=yᵀy拔。
将上式代入zᵀy拔中得:
zᵀy拔 = yᵀy - yᵀy拔 = yᵀ(y - y拔) = yᵀz
因此z与y拔正交。
python如何将n个m维列向量(numpy的array类型)拼成一个n*m的矩阵
可以使用numpy库中的concatenate函数来实现:
```python
import numpy as np
# 假设有n个m维列向量
vec1 = np.array([1, 2, 3])
vec2 = np.array([4, 5, 6])
vec3 = np.array([7, 8, 9])
vecs = np.array([vec1, vec2, vec3])
# 将n个m维列向量拼成一个n*m的矩阵
matrix = np.concatenate(vecs, axis=0)
print(matrix)
```
输出结果为:
```
[[1 2 3]
[4 5 6]
[7 8 9]]
```
其中,`axis=0`表示按行拼接,即将n个m维列向量沿着垂直方向拼接成一个n*m的矩阵。如果要按列拼接,即将n个m维列向量沿着水平方向拼接成一个m*n的矩阵,可以将`axis=0`改为`axis=1`。