设R={a十b根号3|a,b€Z},则R关于数的加法十和数的乘法•构成环。
时间: 2024-03-11 09:45:34 浏览: 19
是的,给定集合R={a十b根号3|a,b€Z},我们需要证明R关于数的加法十和数的乘法•构成环。
首先,我们需要证明R关于数的加法十构成一个群。对于任意的x、y、z∈R,有如下性质:
1. 结合律:(x十y)十z = x十(y十z)
2. 存在零元素:存在元素0∈R,使得x十0=x,对于任意的x∈R。
3. 存在相反元素:对于任意的x∈R,存在一个元素-x∈R,使得x十(-x)=0。
4. 交换律:x十y = y十x,对于任意的x、y∈R。
因此,R关于数的加法十构成一个群。
接下来,我们需要证明R关于数的乘法•是封闭的、结合的、存在单位元素和存在倒数元素的。
1. 乘法封闭性:对于任意的x、y∈R,有x•y∈R。
2. 乘法结合性:对于任意的x、y、z∈R,有(x•y)•z = x•(y•z)。
3. 存在单位元素:存在一个元素1∈R,使得x•1=x,对于任意的x∈R。
4. 存在倒数元素:对于任意的x∈R且x≠0,存在一个元素x'∈R,使得x•x'=1。
因此,R关于数的乘法•也是封闭的、结合的、存在单位元素和存在倒数元素的。
综上所述,R关于数的加法十和数的乘法•构成一个环。
相关问题
设R={a十b根号3|a,b€Z},则R关于数的加法+和数的乘法•构成环。
是的,给定集合R={a十b根号3|a,b€Z},我们需要证明R关于数的加法+和数的乘法•构成环。
首先,我们需要证明R关于数的加法+构成一个群。对于任意的x、y、z∈R,有如下性质:
1. 结合律:(x+y)+z = x+(y+z)
2. 存在零元素:存在元素0∈R,使得x+0=x,对于任意的x∈R。
3. 存在相反元素:对于任意的x∈R,存在一个元素-x∈R,使得x+(-x)=0。
4. 交换律:x+y = y+x,对于任意的x、y∈R。
因此,R关于数的加法+构成一个群。
接下来,我们需要证明R关于数的乘法•是封闭的、结合的、存在单位元素和分配律成立。
1. 乘法封闭性:对于任意的x、y∈R,有x•y∈R。
2. 乘法结合性:对于任意的x、y、z∈R,有(x•y)•z = x•(y•z)。
3. 存在单位元素:存在一个元素1∈R,使得x•1=x,对于任意的x∈R。
4. 分配律:对于任意的x、y、z∈R,有x•(y+z) = x•y + x•z 和 (x+y)•z = x•z + y•z。
因此,R关于数的乘法•也是封闭的、结合的、存在单位元素和分配律成立的。
综上所述,R关于数的加法+和数的乘法•构成一个环。
|ab|=|a||b|证明
这是向量的模长公式,可以通过向量的内积和三角函数证明。假设向量 a 和向量 b 的夹角为 θ,则有:
|a · b| = |a||b| cosθ
其中,a · b 表示向量 a 和向量 b 的内积,即 a1b1 + a2b2 + ... + anbn;|a| 表示向量 a 的模长,即 √(a1² + a2² + ... + an²);|b| 同理。
由于内积可以表示成两个向量模长和夹角余弦值的乘积,所以可以将上式变形为:
cosθ = (a · b) / (|a||b|)
再由余弦定理可得:
|a + b|² = |a|² + |b|² + 2|a||b|cosθ
代入前面的式子,得到:
|a + b|² = |a|² + |b|² + 2|a||b|(a · b) / (|a||b|)
= |a|² + |b|² + 2(a · b)
由于 |a + b|² = (a + b)·(a + b) = a·a + 2a·b + b·b = |a|² + |b|² + 2(a · b),所以:
|a + b|² = |a|² + |b|² + 2(a · b) = (|a + b|)²
两边同时开根号,得到:
|a + b| = |a||b|
因此,证明了向量的模长公式:|ab|=|a||b|。