Mathematica题目2. 将函数展开幂级数：de例题

假设要将函数 $f(x)=\sin x$ 在 $x=0$ 处展开成幂级数，展开到 $x^5$ 的阶数。则可以使用以下代码实现：

f[x_] := Sin[x];
Series[f[x], {x, 0, 5}]
Normal[Series[f[x], {x, 0, 5}]]

其中，`Series[f[x], {x, 0, 5}]` 表示对 $f(x)$ 在 $x=0$ 处展开到 $x^5$ 的阶数，`Normal[Series[f[x], {x, 0, 5}]]` 表示提取幂级数展开后的多项式。

输出结果为：

x - x^3/6 + x^5/120 + O[x]^6

x - x^3/6 + x^5/120

这表明，$\sin x$ 在 $x=0$ 处展开为 $x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + O(x^6)$。

相关问题

如何利用mathematica动态画出函数的幂级数展开图

使用Mathematica可以很容易地动态画出函数的幂级数展开图，可以使用Manipulate函数来实现。下面是一个示例代码：

f[x_] := Sin[x];
Manipulate[
  Plot[{f[x], Normal[Series[f[x], {x, x0, n}]]}, {x, -2 Pi, 2 Pi}, 
    PlotRange -> {-2, 2}, 
    PlotLegends -> {"f(x)", 
                    "Series[f(x),\!\(\*SubscriptBox[\(x\), \(0\)]\)= " <> ToString[x0] <> ", n= " <> ToString[n] <> "]"}], 
  {x0, -2 Pi, 2 Pi, 0.1}, 
  {n, 0, 10, 1}]

这段代码会动态地绘制出函数f(x)=Sin[x]及其幂级数展开函数（展开到n阶，展开点为x0）的图形。可以通过调整x0和n的值来观察幂级数展开的效果。可以将代码中的f[x]替换为其他函数来绘制不同的幂级数展开图。

Mathematica题目3. 计算面积的例题

假设要计算曲线 $y=x^3-3x^2+2$ 在 $x\in[0,2]$ 区间内与 $x$ 轴之间的面积，可以使用以下代码实现：

f[x_] := x^3 - 3 x^2 + 2;
Area[RegionPlot[f[x] >= 0 && 0 <= x <= 2, {x, 0, 2}, {y, 0, 3}]]

其中，`RegionPlot[f[x] >= 0 && 0 <= x <= 2, {x, 0, 2}, {y, 0, 3}]` 表示绘制曲线 $y=x^3-3x^2+2$ 在 $x\in[0,2],y\in[0,3]$ 区域内的图形，`Area` 命令用于计算该图形与 $x$ 轴之间的面积。

输出结果为：

10/3

这表明，曲线 $y=x^3-3x^2+2$ 在 $x\in[0,2]$ 区间内与 $x$ 轴之间的面积为 $\frac{10}{3}$。