考虑优化问题 min (x,y)∈R 2 f(x) = (x − 1) 2 + y − 2 s.t. h(x) = y − x − 1 = 0 g(x) = x + y − 2 ≤ 0. 计算满足 KKT 条件的点, 并利用二阶条件验证上述点是否是局部极小值点.
时间: 2024-05-31 20:10:40 浏览: 13
首先,我们可以列出拉格朗日函数:
$$
L(x, y, \lambda_1, \lambda_2, \mu) = (x - 1)^2 + y - 2 + \lambda_1(y - x - 1) + \lambda_2(x + y - 2) - \mu(x+y-2)
$$
其中,$\lambda_1$ 和 $\lambda_2$ 是 Lagrange 乘子,$\mu$ 是 Kuhn-Tucker 乘子。
接下来,我们可以列出 KKT 条件:
1. Stationarity:
$$
\nabla_x L(x^*, y^*, \lambda_1^*, \lambda_2^*, \mu^*) = 2(x^* - 1) + \lambda_1^* - \lambda_2^* - \mu^* = 0
$$
$$
\nabla_y L(x^*, y^*, \lambda_1^*, \lambda_2^*, \mu^*) = 1 + \lambda_1^* + \lambda_2^* - \mu^* = 0
$$
$$
\lambda_1^*(y^* - x^* - 1) = 0
$$
$$
\lambda_2^*(x^* + y^* - 2) = 0
$$
$$
\mu^*(x^* + y^* - 2) = 0
$$
2. Primal feasibility:
$$
h(x^*, y^*) = y^* - x^* - 1 = 0
$$
$$
g(x^*, y^*) = x^* + y^* - 2 \leq 0
$$
3. Dual feasibility:
$$
\lambda_1^* \geq 0
$$
$$
\lambda_2^* \geq 0
$$
$$
\mu^* \geq 0
$$
4. Complementary slackness:
$$
\lambda_1^*(y^* - x^* - 1) = 0
$$
$$
\lambda_2^*(x^* + y^* - 2) = 0
$$
$$
\mu^*(x^* + y^* - 2) = 0
$$
根据上述条件,我们可以求解出 $\lambda_1^* = 0, \lambda_2^* = 2, \mu^* = 0$,带回原式,得到:
$$
2(x^* - 1) - 2 = 0
$$
$$
1 + 0 + 2 - 0 = 0
$$
解得 $x^* = 1, y^* = 2$。
接下来,我们需要验证这个点是否是局部极小值点。我们可以计算 Hessian 矩阵:
$$
H(x,y) = \begin{bmatrix}
2 & 0 \\
0 & 0
\end{bmatrix}
$$
将 $x^*=1, y^*=2$ 代入,得到:
$$
H(1,2) = \begin{bmatrix}
2 & 0 \\
0 & 0
\end{bmatrix}
$$
由于 Hessian 矩阵的主对角线元素均为正数,因此这个点是局部极小值点。
因此,满足 KKT 条件的点是 $(1,2)$,并且这个点是局部极小值点。
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