QR分解求特征值和特征向量

QR分解可以用来求解特征值和特征向量，具体步骤如下：

1. 对于一个n阶矩阵A，构造一个n阶单位矩阵Q和A的一个QR分解，得到Q和R。
2. 计算A1 = RQ，得到一个新的矩阵A1。
3. 将A1进行QR分解，得到Q1和R1。
4. 重复步骤2和3，直到A的对角线元素收敛为止。
5. 对于收敛后的对角线元素，它们就是矩阵A的特征值。对应的单位列向量就是矩阵A的特征向量，可以通过Q矩阵来计算。

下面是一个Python实现，用于求解一个矩阵A的特征值和特征向量：

import numpy as np

def qr_eigen(A, max_iterations=1000, tol=1e-8):
    """
    使用QR分解求解矩阵A的特征值和特征向量

    参数：
    A: 待求解矩阵
    max_iterations: 最大迭代次数
    tol: 容忍度（当矩阵的模长小于tol时认为已经收敛）

    返回值：
    eigenvalues: 特征值
    eigenvectors: 特征向量
    """
    n = A.shape[0]
    Q = np.eye(n)
    for i in range(max_iterations):
        Q_, R_ = np.linalg.qr(A)
        Q = Q @ Q_
        A = R_ @ Q_
        if np.sum(np.abs(np.tril(A, -1))) < tol:
            break
    eigenvalues = np.diag(A)
    eigenvectors = np.zeros((n, n))
    for i in range(n):
        eigenvectors[:, i] = Q[:, i] / Q[0, i]
    return eigenvalues, eigenvectors

在这个实现中，我们使用QR分解将矩阵A转化为上三角矩阵，然后从上三角矩阵中提取出特征值，并从Q矩阵中提取出特征向量。注意，我们还需要将每个特征向量除以它的第一个元素，以确保它是一个单位向量。

需要注意的是，QR分解求解特征值和特征向量的方法不是最优的，它的收敛速度比其他方法要慢。但它的优点是可以处理任意的矩阵，并且不需要预先计算特征多项式。