qr分解法求特征向量及其特征值,包含qr分解法,其中有北航大作业三道题目完整版,程

qr分解法是一种求解矩阵特征向量及其特征值的数值计算方法。它通过将矩阵A分解为一个正交矩阵Q与一个上三角矩阵R的乘积，然后利用对角线元素即R的特征向量求得矩阵A的特征向量以及特征值。

首先，将矩阵A进行qr分解，得到矩阵A=QR，其中Q为正交矩阵，R为上三角矩阵。

然后，利用上三角矩阵R的对角线元素求得矩阵A的特征值。特征值即为R的对角线元素。

接下来，求得特征值后，将特征值代入方程(A-λI)x=0，其中λ为特征值，I为单位矩阵，求解出非零解x，即为矩阵A的特征向量。

最后，将得到的特征向量进行归一化处理，即除以其模长，得到A的标准化特征向量。

示例：假设矩阵A为2x2矩阵，经过qr分解后，得到矩阵A=QR，其中
Q= [0.8 -0.6]
[0.17 0.94]
R= [5 4]
[0 3]

由R的对角线元素可得矩阵A的特征值为5和3。

将特征值代入方程(A-λI)x=0，得到两个方程组：
(2-5)x1 + 4x2 = 0
0.17x1 + (2-3)x2 = 0

求解上述方程组可得两个非零解：
x1 = 0.8
x2 = -0.6

x1 = 0.17
x2 = 0.94

将得到的特征向量归一化处理，得到A的特征向量：
[0.8 0.17]
[-0.6 0.94]

以上是使用qr分解法求解特征向量及其特征值的过程。qr分解法在数值计算中具有重要的应用价值，能够快速而准确地求解特征向量及其特征值。北航大作业中的相关题目可借助该方法进行求解。

相关问题

QR分解求特征值和特征向量

### 回答1：
QR分解可以用来求解特征值和特征向量，具体步骤如下：

1. 对于一个n阶矩阵A，构造一个n阶单位矩阵Q和A的一个QR分解，得到Q和R。
2. 计算A1 = RQ，得到一个新的矩阵A1。
3. 将A1进行QR分解，得到Q1和R1。
4. 重复步骤2和3，直到A的对角线元素收敛为止。
5. 对于收敛后的对角线元素，它们就是矩阵A的特征值。对应的单位列向量就是矩阵A的特征向量，可以通过Q矩阵来计算。

下面是一个Python实现，用于求解一个矩阵A的特征值和特征向量：

import numpy as np

def qr_eigen(A, max_iterations=1000, tol=1e-8):
    """
    使用QR分解求解矩阵A的特征值和特征向量

    参数：
    A: 待求解矩阵
    max_iterations: 最大迭代次数
    tol: 容忍度（当矩阵的模长小于tol时认为已经收敛）

    返回值：
    eigenvalues: 特征值
    eigenvectors: 特征向量
    """
    n = A.shape[0]
    Q = np.eye(n)
    for i in range(max_iterations):
        Q_, R_ = np.linalg.qr(A)
        Q = Q @ Q_
        A = R_ @ Q_
        if np.sum(np.abs(np.tril(A, -1))) < tol:
            break
    eigenvalues = np.diag(A)
    eigenvectors = np.zeros((n, n))
    for i in range(n):
        eigenvectors[:, i] = Q[:, i] / Q[0, i]
    return eigenvalues, eigenvectors

在这个实现中，我们使用QR分解将矩阵A转化为上三角矩阵，然后从上三角矩阵中提取出特征值，并从Q矩阵中提取出特征向量。注意，我们还需要将每个特征向量除以它的第一个元素，以确保它是一个单位向量。

需要注意的是，QR分解求解特征值和特征向量的方法不是最优的，它的收敛速度比其他方法要慢。但它的优点是可以处理任意的矩阵，并且不需要预先计算特征多项式。

### 回答2：
QR分解是一种常用的矩阵分解方法，可以用来求解矩阵的特征值和特征向量。QR分解可以将一个矩阵分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积，即A=QR。

特征向量是指不为零向量x，满足Ax=λx的向量，其中λ是一个常数，称为特征值。对于一个给定的矩阵A，我们可以通过QR分解求得它的特征向量和特征值。

QR分解的过程如下：
1. 首先，选取一个合适的正交矩阵Q和上三角矩阵R，使得它们的乘积接近于矩阵A。
2. 然后，我们可以将矩阵A表示为A=QR。
3. 接下来，将QR分解代入到特征方程Ax=λx中，得到QRx=λx。
4. 由于矩阵Q是正交矩阵，所以它的逆矩阵Q^T等于其转置矩阵，即Q^TQ=I。因此，我们可以将QRx=λx转化为Rx=Q^Tx。
5. 最后，将上三角矩阵R的对角线元素作为特征值λ，将矩阵Q的列向量作为特征向量x。

通过这样的QR分解过程，我们可以有效地求解矩阵A的特征值和特征向量。QR分解方法具有一定的数值稳定性，因此在实际应用中被广泛使用。

### 回答3：
QR分解是一种常用的矩阵分解方法，可以用来求解矩阵的特征值和特征向量。QR分解将一个矩阵分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积，即A=QR。

通过QR分解可以得到A的特征值和特征向量。首先，将矩阵A进行QR分解，得到Q和R。因为Q是正交矩阵，所以它的逆等于它的转置，即Q^{-1} = Q^{T}。将A带入QR的形式得到QA=QR，对等式两边同时左乘Q^{-1} = Q^{T}得到QTQ=RT。

注意到RT是一个上三角矩阵，对角线上的元素就是矩阵A的特征值。通过求解RT的特征值，就可以得到矩阵A的特征值。特征向量可以通过将特征值代入到A-λI=0中解出，其中I是单位矩阵。

综上所述，通过进行QR分解，可以得到矩阵的特征值和特征向量。这是一种常用的求解特征值和特征向量的方法，具有较高的计算效率。特征值和特征向量在线性代数中有着重要的应用，可以用于解决各种实际问题，如图像处理、数据降维等。

QR分解求特征值和特征向量python代码实现

以下是使用 Python 实现 QR 分解求解特征值和特征向量的代码：

import numpy as np

def qr_eig(A, epsilon=1e-10, max_iterations=1000):
    # QR分解求特征值和特征向量
    n = A.shape[0]
    V = np.eye(n)
    for i in range(max_iterations):
        Q, R = np.linalg.qr(A)
        A = np.dot(R, Q)
        V = np.dot(V, Q)
        if np.max(np.abs(np.tril(A, k=-1))) < epsilon:
            break
    eigenvalues = np.diag(A)
    eigenvectors = V
    return eigenvalues, eigenvectors

其中，`A` 是输入的方阵，`epsilon` 是判断迭代结束的误差值，默认为 `1e-10`，`max_iterations` 是最大迭代次数，默认为 `1000`。该函数返回一个元组，其中第一个元素是特征值构成的一维数组，第二个元素是特征向量构成的二维数组。