qr分解法求特征向量及其特征值,包含qr分解法,其中有北航大作业三道题目完整版,程

qr分解法是一种求解矩阵特征向量及其特征值的数值计算方法。它通过将矩阵A分解为一个正交矩阵Q与一个上三角矩阵R的乘积，然后利用对角线元素即R的特征向量求得矩阵A的特征向量以及特征值。

首先，将矩阵A进行qr分解，得到矩阵A=QR，其中Q为正交矩阵，R为上三角矩阵。

然后，利用上三角矩阵R的对角线元素求得矩阵A的特征值。特征值即为R的对角线元素。

接下来，求得特征值后，将特征值代入方程(A-λI)x=0，其中λ为特征值，I为单位矩阵，求解出非零解x，即为矩阵A的特征向量。

最后，将得到的特征向量进行归一化处理，即除以其模长，得到A的标准化特征向量。

示例：假设矩阵A为2x2矩阵，经过qr分解后，得到矩阵A=QR，其中
Q= [0.8 -0.6]
[0.17 0.94]
R= [5 4]
[0 3]

由R的对角线元素可得矩阵A的特征值为5和3。

将特征值代入方程(A-λI)x=0，得到两个方程组：
(2-5)x1 + 4x2 = 0
0.17x1 + (2-3)x2 = 0

求解上述方程组可得两个非零解：
x1 = 0.8
x2 = -0.6

x1 = 0.17
x2 = 0.94

将得到的特征向量归一化处理，得到A的特征向量：
[0.8 0.17]
[-0.6 0.94]

以上是使用qr分解法求解特征向量及其特征值的过程。qr分解法在数值计算中具有重要的应用价值，能够快速而准确地求解特征向量及其特征值。北航大作业中的相关题目可借助该方法进行求解。