Koopman的预测模型建立及其matlab代码详解

Koopman预测模型可以用于对非线性动态系统进行预测和控制，其基本思想是将非线性动态系统映射到高维空间中，使其变成线性系统，然后利用线性系统的性质进行预测和控制。下面将详细介绍如何建立Koopman预测模型及其Matlab代码实现。

一、Koopman算子的建立

1. 数据采集

首先，需要对非线性动态系统进行数据采集，包括各个状态变量的取值和时间变量的取值。这里可以使用实验数据、仿真数据或者其他途径获取数据。

2. Koopman算子构建

将采集到的状态变量数据转化为Koopman算子的矩阵形式，并对其进行奇异值分解，得到系数矩阵。具体步骤如下：

（1）将状态变量数据转化为Koopman算子的矩阵形式。设状态变量为$x_1, x_2, ..., x_n$，采集到的数据为$x_1(t_1), x_1(t_2), ..., x_1(t_m)$，$x_2(t_1), x_2(t_2), ..., x_2(t_m)$，..., $x_n(t_1), x_n(t_2), ..., x_n(t_m)$，则状态变量的Koopman矩阵为：

$$
K = \begin{bmatrix}
\psi_1(x_1(t_1)) & \psi_1(x_1(t_2)) & ... & \psi_1(x_1(t_m)) \\
\psi_2(x_2(t_1)) & \psi_2(x_2(t_2)) & ... & \psi_2(x_2(t_m)) \\
... & ... & ... & ...\\
\psi_n(x_n(t_1)) & \psi_n(x_n(t_2)) & ... & \psi_n(x_n(t_m)) \\
\end{bmatrix}
$$

其中，$\psi_i(x)$是一个可测函数，表示第i个状态变量的映射。

（2）对Koopman矩阵进行奇异值分解，得到系数矩阵。设奇异值分解结果为$K = U\Sigma V^T$，则系数矩阵为：

$$
A = U(:,1:n)*\Sigma(1:n,1:n)*V(:,1:n)'
$$

其中，$n$是选取的Koopman模型中的函数个数。

二、Koopman预测模型的建立

1. 初始状态$X_0$和时间范围$T$的设定

设初始状态为$X_0$，时间范围为$T$，即预测从初始状态开始，经过一段时间后的状态变化。

2. 预测计算

利用系数矩阵递推计算预测值，具体步骤如下：

（1）设$k=1$，$X_1=X_0$。

（2）计算$X_{k+1}=AX_k$。

（3）重复执行步骤（2），直到达到预测时间范围。

三、Koopman预测模型的Matlab代码实现

下面是一个简单的Koopman预测模型的Matlab代码实现示例：

% 非线性动态系统示例代码
tspan = 0:0.1:10;
x0 = [1; 1];
[t, x] = ode45(@(t,x) nonlinear_sys(t, x), tspan, x0);

% Koopman模型建模
n = size(x,2);
m = 10; % 选择Koopman模型中的函数个数
V = x'; % 观测矩阵
for i = 1:m
    V = [V; x'.^i];
end
K = V*pinv(V); % Koopman算子
A = K(:,1:n); % 系数矩阵

% 预测
x0 = x(1,:)'; % 初始状态
t_pred = 10:0.1:20; % 预测时间范围
x_pred = zeros(length(t_pred),n);
x_pred(1,:) = x0';
for i = 2:length(t_pred)
    x_pred(i,:) = A*x_pred(i-1,:)'; % 递推计算
end

% 绘图
figure;
plot(t, x(:,1), 'b', t_pred, x_pred(:,1), 'r--');
xlabel('时间');
ylabel('状态变量1');
legend('实际值', '预测值');

其中，`nonlinear_sys`是一个非线性动态系统模型，可以根据具体应用进行更改。这个示例中，首先采集了一个非线性动态系统的状态变量数据，然后将其转换为Koopman算子的矩阵形式，并对其进行奇异值分解，得到系数矩阵。接着，利用系数矩阵递推计算预测值，并绘制预测结果和实际结果的比较图。

需要注意的是，这只是一个简单的示例，实际应用中需要根据具体问题进行调整和优化。