最长公共子序列c++状态转移方程
时间: 2024-08-12 11:05:50 浏览: 40
最长公共子序列(Longest Common Subsequence, LCS)问题是一个经典的动态规划问题,在C++中可以使用二维数组来表示状态并计算两个序列之间的最长公共子序列。状态转移方程通常表述为:
对于字符串A的第i个字符a[i]和字符串B的第j个字符b[j],如果a[i] == b[j],那么当前状态下的LCS长度(记作dp[i][j])就是上一状态加上1,即 dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1。
如果a[i] ≠ b[j],则LCS要么是A的前i - 1个字符的LCS(记作dp[i][j - 1])。所以,dp[i][j]在这种情况下取两者中的较大值,即 dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1])。
最后,dp[m][n](其中m和n分别为字符串A和B的长度)就是整个序列的最长公共子序列的长度,而构建出的dp数组就可以回溯得到最长公共子序列本身。
相关问题
动态规划实现最长公共子序列c++代码
动态规划是一种常用的算法思想,用于解决一些优化问题。最长公共子序列问题就是其中一个典型的例子。以下是实现最长公共子序列的c++代码:
```
#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N = 1010;
int dp[N][N];
int main()
{
string s1, s2;
cin >> s1 >> s2;
int n1 = s1.size(), n2 = s2.size();
for (int i = 1; i <= n1; i++)
for (int j = 1; j <= n2; j++)
{
if (s1[i - 1] == s2[j - 1])
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
else
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
}
cout << dp[n1][n2] << endl;
return 0;
}
```
这段代码首先读入两个字符串s1和s2,并定义dp数组表示最长公共子序列的长度。接着,双重循环遍历s1和s2中的每个字符,并根据状态转移方程进行动态规划,最后输出dp[n1][n2]即可。
动态规划最长公共子序列C++
下面是C++实现的最长公共子序列问题的动态规划算法:
```c++
#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N = 1010;
char s1[N], s2[N];
int f[N][N];
int main()
{
cin >> s1 >> s2;
int len1 = strlen(s1), len2 = strlen(s2);
for (int i = 1; i <= len1; i++)
for (int j = 1; j <= len2; j++)
{
f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i][j - 1]);
if (s1[i - 1] == s2[j - 1])
f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - 1] + 1);
}
cout << f[len1][len2] << endl;
return 0;
}
```
其中,$f[i][j]$ 表示 $s1$ 的前 $i$ 个字符和 $s2$ 的前 $j$ 个字符的最长公共子序列长度。
状态转移方程为:
$$f[i][j] = \begin{cases}0&i=0 \text{ or } j=0\\ f[i-1][j-1]+1&s1_i=s2_j\\ \max(f[i-1][j], f[i][j-1])&s1_i\neq s2_j\end{cases}$$
其中,第一行和第一列需要初始化为0,因为如果其中一个字符串为空,则最长公共子序列长度为0。最终答案即为 $f[len1][len2]$,其中 $len1$ 和 $len2$ 分别为两个字符串的长度。