最长公共子序列问题动态规划c++

最长公共子序列问题是一种经典的动态规划问题，它可以用来求两个字符串之间的最长公共子序列。以下是该问题的动态规划解法。

我们令 $dp[i][j]$ 表示字符串 $s1$ 的前 $i$ 个字符和字符串 $s2$ 的前 $j$ 个字符的最长公共子序列长度，那么状态转移方程为：

$$
dp[i][j] =
\begin{cases}
0, & i=0 \text{ 或 } j=0 \\
dp[i-1][j-1]+1, & s1[i]=s2[j] \\
\max(dp[i][j-1], dp[i-1][j]), & s1[i] \neq s2[j]
\end{cases}
$$

其中，当 $s1[i]=s2[j]$ 时，$dp[i][j]$ 等于 $s1$ 的前 $i-1$ 个字符和 $s2$ 的前 $j-1$ 个字符的最长公共子序列长度 $dp[i-1][j-1]$ 加上当前字符相同的贡献 $1$。

当 $s1[i] \neq s2[j]$ 时，$dp[i][j]$ 取 $s1$ 的前 $i$ 个字符和 $s2$ 的前 $j-1$ 个字符的最长公共子序列长度 $dp[i][j-1]$ 和 $s1$ 的前 $i-1$ 个字符和 $s2$ 的前 $j$ 个字符的最长公共子序列长度 $dp[i-1][j]$ 的较大值。

最终结果即为 $dp[n][m]$，其中 $n$ 和 $m$ 分别为字符串 $s1$ 和 $s2$ 的长度。

以下是该问题的 C 代码实现：

#include <stdio.h>
#include <string.h>

#define MAX_N 1000

int dp[MAX_N + 1][MAX_N + 1];

int lcs(char *s1, char *s2) {
    int n = strlen(s1), m = strlen(s2);
    for (int i = 0; i <= n; ++i) dp[i][0] = 0;
    for (int j = 0; j <= m; ++j) dp[0][j] = 0;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        for (int j = 1; j <= m; ++j) {
            if (s1[i - 1] == s2[j - 1]) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
            } else {
                dp[i][j] = dp[i][j - 1] > dp[i - 1][j] ? dp[i][j - 1] : dp[i - 1][j];
            }
        }
    }
    return dp[n][m];
}

int main() {
    char s1[MAX_N + 1], s2[MAX_N + 1];
    scanf("%s%s", s1, s2);
    printf("%d\n", lcs(s1, s2));
    return 0;
}