n趋向于无穷大时n开n次方的值

当$n$趋向于无穷大时，$n$开$n$次方的值可以表示为：

$$\lim_{n\rightarrow \infty} n^{\frac{1}{n}}$$

我们可以使用自然对数$e$来求解该极限：

$$\begin{aligned}\lim_{n\rightarrow \infty} n^{\frac{1}{n}} &= \lim_{n\rightarrow \infty} e^{\ln(n^{\frac{1}{n}})}\\&=\lim_{n\rightarrow \infty} e^{\frac{\ln(n)}{n}}\end{aligned}$$

接着，我们将指数函数$e^{\frac{\ln(n)}{n}}$进行泰勒展开：

$$e^{\frac{\ln(n)}{n}}=1+\frac{\ln(n)}{n}+\frac{(\ln(n))^2}{2n^2}+\cdots$$

因为$\ln(n)$增长速度比$n$慢，所以当$n$趋向于无穷大时，$e^{\frac{\ln(n)}{n}}$趋近于$1$。因此，原极限等于$1$。即：

$$\lim_{n\rightarrow \infty} n^{\frac{1}{n}}=1$$

因此，当$n$趋向于无穷大时，$n$开$n$次方的值趋近于$1$。

相关问题

如何在MATLAB中计算当n趋向于无穷大时，序列(1 + 1/2 + 1/3 + 1/n-lnn)的极限？

在MATLAB中，你可以使用`limit`函数来计算序列的极限。对于给定序列 \( \frac{1}{n} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{n} - \ln(n) \)，其前半部分是一个无穷等比数列的求和，后半部分是\( n \)次方的泰勒展开式的一部分（即自然对数的近似）。该序列可以简化为：

\[
\lim_{n \to \infty} \left(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k} - \ln(n)\right)
\]

无穷等比数列的部分会趋于无穷，而自然对数的增长速度较快，所以随着 \( n \) 趋于无穷大，减去的部分将变得微不足道。因此，整个序列的极限接近于无穷等比数列的和：

\[
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}
\]

这个著名的级数被称为调和级数，它的和是发散的，意味着它并没有固定的有限值。所以在MATLAB中，表达式的极限形式为 `Inf`。

不过，在实际操作中，由于计算机处理的是浮点数，你可能会得到一个非常大的数值而不是`Inf`，表示这个值已经超出MATLAB浮点数范围的上限。

% 使用 limit 函数计算极限
limit_sum = limit(sum(1./[1:n]) - log(n), n, Inf);

（n/n+1）的n次方极限计算过程

我们可以将（n/n+1）的n次方表示为(e^ln(n/n+1))^n的形式，其中ln表示自然对数。因为：

ln(n/n+1) = ln(n) - ln(n+1)

所以，我们可以将（n/n+1）的n次方表示为：

(e^(ln(n) - ln(n+1)))^n

然后，我们可以将指数和底数分开：

e^(n*ln(n) - n*ln(n+1))

接下来，我们考虑当n趋向于无穷大时，上式的极限。我们可以将上式中的n*ln(n)和n*ln(n+1)都表示为n*ln(n)的形式，即：

n*ln(n+1) = n*ln(n) + n*ln(1+1/n)

当n趋向于无穷大时，ln(1+1/n)可以近似为1/n。因此，我们可以将上式表示为：

n*ln(n+1) = n*ln(n) + 1

将上述式子代入之前的式子，我们得到：

lim(n→∞) e^(n*ln(n) - n*ln(n+1)) = lim(n→∞) e^(n*ln(n) - n*ln(n) - 1) = lim(n→∞) e^(-1) = 1/e

因此，当n趋向于无穷大时，（n/n+1）的n次方的极限是1/e。