n趋向于无穷大时n开n次方的值

当$n$趋向于无穷大时，$n$开$n$次方的值可以表示为：

$$\lim_{n\rightarrow \infty} n^{\frac{1}{n}}$$

我们可以使用自然对数$e$来求解该极限：

$$\begin{aligned}\lim_{n\rightarrow \infty} n^{\frac{1}{n}} &= \lim_{n\rightarrow \infty} e^{\ln(n^{\frac{1}{n}})}\\&=\lim_{n\rightarrow \infty} e^{\frac{\ln(n)}{n}}\end{aligned}$$

接着，我们将指数函数$e^{\frac{\ln(n)}{n}}$进行泰勒展开：

$$e^{\frac{\ln(n)}{n}}=1+\frac{\ln(n)}{n}+\frac{(\ln(n))^2}{2n^2}+\cdots$$

因为$\ln(n)$增长速度比$n$慢，所以当$n$趋向于无穷大时，$e^{\frac{\ln(n)}{n}}$趋近于$1$。因此，原极限等于$1$。即：

$$\lim_{n\rightarrow \infty} n^{\frac{1}{n}}=1$$

因此，当$n$趋向于无穷大时，$n$开$n$次方的值趋近于$1$。