n趋向于无穷大时n开n次方的值
时间: 2024-05-26 22:17:11 浏览: 31
当$n$趋向于无穷大时,$n$开$n$次方的值可以表示为:
$$\lim_{n\rightarrow \infty} n^{\frac{1}{n}}$$
我们可以使用自然对数$e$来求解该极限:
$$\begin{aligned}\lim_{n\rightarrow \infty} n^{\frac{1}{n}} &= \lim_{n\rightarrow \infty} e^{\ln(n^{\frac{1}{n}})}\\&=\lim_{n\rightarrow \infty} e^{\frac{\ln(n)}{n}}\end{aligned}$$
接着,我们将指数函数$e^{\frac{\ln(n)}{n}}$进行泰勒展开:
$$e^{\frac{\ln(n)}{n}}=1+\frac{\ln(n)}{n}+\frac{(\ln(n))^2}{2n^2}+\cdots$$
因为$\ln(n)$增长速度比$n$慢,所以当$n$趋向于无穷大时,$e^{\frac{\ln(n)}{n}}$趋近于$1$。因此,原极限等于$1$。即:
$$\lim_{n\rightarrow \infty} n^{\frac{1}{n}}=1$$
因此,当$n$趋向于无穷大时,$n$开$n$次方的值趋近于$1$。
相关问题
用MATLAB计算当n趋于无穷时nsin(π/n)的值
可以使用MATLAB中的符号计算工具箱来实现:
首先定义符号变量n和π:
```
syms n pi
```
然后定义函数f(n):
```
f(n) = n*sin(pi/n);
```
接下来,使用limit函数计算当n趋于无穷时f(n)的极限值:
```
limit(f(n), n, Inf)
```
运行以上代码,得到结果:
```
pi
```
因此,当n趋于无穷时nsin(π/n)的值为π。
(n/n+1)的n次方极限计算过程
我们可以将(n/n+1)的n次方表示为(e^ln(n/n+1))^n的形式,其中ln表示自然对数。因为:
ln(n/n+1) = ln(n) - ln(n+1)
所以,我们可以将(n/n+1)的n次方表示为:
(e^(ln(n) - ln(n+1)))^n
然后,我们可以将指数和底数分开:
e^(n*ln(n) - n*ln(n+1))
接下来,我们考虑当n趋向于无穷大时,上式的极限。我们可以将上式中的n*ln(n)和n*ln(n+1)都表示为n*ln(n)的形式,即:
n*ln(n+1) = n*ln(n) + n*ln(1+1/n)
当n趋向于无穷大时,ln(1+1/n)可以近似为1/n。因此,我们可以将上式表示为:
n*ln(n+1) = n*ln(n) + 1
将上述式子代入之前的式子,我们得到:
lim(n→∞) e^(n*ln(n) - n*ln(n+1)) = lim(n→∞) e^(n*ln(n) - n*ln(n) - 1) = lim(n→∞) e^(-1) = 1/e
因此,当n趋向于无穷大时,(n/n+1)的n次方的极限是1/e。
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