数列(1+1/n)的(n+p)次方严格递减,p的取值范围是多少
时间: 2024-01-02 22:02:58 浏览: 21
首先我们可以计算出该数列的通项公式为:
a_n = (1 + 1/n)^(n+p)
接下来,我们要证明该数列严格递减。为了方便证明,我们考虑计算相邻两项之间的差值:
a_n - a_{n+1} = [(1 + 1/n)^(n+p)] - [(1 + 1/(n+1))^(n+1+p)]
将该差值化简,得到:
a_n - a_{n+1} = [(n+1)/(n(n+1))] * [(1 + 1/n)^(n+p)] - [(1 + 1/(n+1))^(n+1+p)]
a_n - a_{n+1} = [(1/n) * (1 - 1/(n+1))] * [(1 + 1/n)^(n+p)] - [(1 + 1/(n+1))^(n+1+p)]
考虑证明该差值大于0,即证明:
[(1/n) * (1 - 1/(n+1))] * [(1 + 1/n)^(n+p)] > [(1 + 1/(n+1))^(n+1+p)]
将该不等式两边取对数,得到:
[(n+p)*ln(1+1/n)] - [(n+1+p)*ln(1+1/(n+1))] > ln(1 + 1/n) - ln(1 + 1/(n+1))
将左边的差值拆开,得到:
p*ln(1+1/n) - ln(1+1/(n+1)) > ln(1+1/n) - ln(1+1/(n+1))
将右边的差值化简,得到:
ln[(n+1)/n] > 0
该不等式显然成立。因此,我们证明了该数列严格递减。
接下来,我们要求出p的取值范围。由于该数列严格递减,因此我们只需要证明当p=0时,该数列为单调递减的。当p=0时,该数列的通项公式为:
a_n = (1 + 1/n)^n
我们知道,当n趋向于无穷大时,(1 + 1/n)^n趋向于自然对数e。因此,当n足够大时,该数列的通项公式可以近似为:
a_n ≈ e
由于该数列严格递减,因此我们可以得到:
a_1 > a_2 > a_3 > ... > a_n > ...
即:
e > a_2 > a_3 > ... > a_n > ...
由于a_2 > 1,因此我们可以得到:
e > 1 > a_3 > ... > a_n > ...
由于a_3 > 1/√e,因此我们可以得到:
e > √e > a_4 > ... > a_n > ...
以此类推,我们可以推出:
e > √e > √[√e] > ... > √[n√e] > ...
当n趋向于无穷大时,n√e趋向于无穷大,因此我们可以得到:
e > √e > √[√e] > ... > √[n√e] > ... > 1
因此,当p=0时,该数列的取值范围为:
1 < a_n < e
综上所述,该数列的取值范围为:
1 < a_n < (1 + 1/p)^{p+1}