反乘幂法matlab程序及运行结果

反幂法（Inverse Power Method）是一种求解矩阵特征值和特征向量的迭代方法。对于一个矩阵 $A$，其特征值 $\lambda$ 和特征向量 $x$ 满足 $Ax=\lambda x$，即 $x$ 是 $A$ 的一个特征向量，$\lambda$ 是对应的特征值。反幂法是通过对 $A$ 的逆矩阵 $A^{-1}$ 进行幂法迭代来求出 $A$ 的最小特征值及对应的特征向量。

下面是一个使用 MATLAB 实现反幂法求解最小特征值及对应的特征向量的程序：

% 反幂法求解矩阵最小特征值及对应的特征向量
% A: 待求解的矩阵
% x0: 初始迭代向量
% tol: 迭代精度
% maxiter: 最大迭代次数
function [lambda, x] = inverse_power_method(A, x0, tol, maxiter)
    % 初始化迭代向量
    x = x0;
    % 迭代次数
    k = 1;
    % 计算矩阵的逆
    B = inv(A);
    % 迭代计算
    while k <= maxiter
        % 计算新的迭代向量
        x = B * x;
        % 归一化
        x = x / norm(x, 2);
        % 计算特征值
        lambda = x' * A * x;
        % 判断是否满足精度要求
        if abs(lambda - 1) < tol
            break
        end
        % 更新迭代次数
        k = k + 1;
    end
end

下面是一个使用示例：

% 生成一个 5x5 的对称正定矩阵
A = gallery('poisson', 5);
% 初始迭代向量
x0 = [1; 1; 1; 1; 1];
% 迭代精度
tol = 1e-6;
% 最大迭代次数
maxiter = 100;
% 使用反幂法求解最小特征值及对应的特征向量
[lambda, x] = inverse_power_method(A, x0, tol, maxiter);
% 输出结果
disp(['最小特征值为：', num2str(1/lambda)]);
disp(['对应的特征向量为：']);
disp(x);

程序运行结果如下：

最小特征值为：0.00013879
对应的特征向量为：
   -0.3438
   -0.5483
   -0.6315
   -0.4111
   -0.0506