设x,y相互独立且均服从正态分布n(0,1),z=x+y,求z的概率密度函数

由于x和y相互独立且均服从正态分布，因此它们的和z=x+y也是正态分布。其均值为0+0=0，方差为1+1=2，因此z的概率密度函数为：

f(z) = (1 / sqrt(2π * 2)) * exp(-z^2 / 2)

其中sqrt表示平方根，exp表示自然指数函数。这是标准正态分布的概率密度函数，即均值为0，方差为1的正态分布的概率密度函数。

相关问题

设X与Y相互独立且服从同一类型分布，则如下哪种分布不具有可加性（ ） (A) 二项分布 (B) 泊松分布 (C) 均匀分布 (D) 正态分布

选项 (D) 正态分布不具有可加性。

如果 X 和 Y 相互独立，且服从同一类型分布，则它们的和 Z = X + Y 也服从该类型分布。这是因为，对于任意实数 z，有：

P(Z ≤ z) = ∬I{x + y ≤ z} fX(x)fY(y) dxdy
= ∫I{y ≤ z - x} fX(x) dx ∫I{x ≤ z - y} fY(y) dy
= ∫I{x ≤ z} fX(x) dx ∫I{y ≤ z} fY(y) dy
= P(X ≤ z)P(Y ≤ z)

因此，对于二项分布、泊松分布和均匀分布，它们的概率具有可加性。

然而，对于正态分布，其概率密度函数为：

f(x) = (1/√(2π)σ) exp{-[(x-μ)/σ]^2/2}

对于独立的正态分布 X ∼ N(μ1, σ1^2) 和 Y ∼ N(μ2, σ2^2)，它们的和 Z = X + Y 的分布并不是正态分布。这是因为，Z 的概率密度函数为：

f(z) = ∫f(x) f(z-x) dx
= (1/2πσ1σ2) ∫exp{-[(x-μ1)/σ1]^2/2} exp{-[(z-x-μ2)/σ2]^2/2} dx

如果对其进行计算，会发现它并不是一个正态分布的概率密度函数，因此正态分布不具有可加性。

二维随机变量 (x,Y)~N0,0,1,1,0.5),令Z = 3X + 5Y,则随机变量的概率密度函数fz(z)=

首先，根据题意可知，$(X,Y)$服从均值为$(0,0)$，方差分别为$(1,1)$，协方差为$0.5$的二元正态分布，即$(X,Y) \sim N(0,0;1,1;0.5)$。那么，我们可以先求出$Z$的均值和方差：

$E(Z) = E(3X + 5Y) = 3E(X) + 5E(Y) = 0$

$Var(Z) = Var(3X + 5Y) = 9Var(X) + 25Var(Y) + 30Cov(X,Y) = 9 + 25 + 30\times0.5 = 34$

因此，$Z$也是一个正态分布，其概率密度函数为：

$f_Z(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\times34}} \exp\left(-\frac{(z-0)^2}{2\times34}\right)$

化简后可得：

$f_Z(z) = \frac{1}{17\sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{z^2}{68}\right)$

因此，随机变量$Z$的概率密度函数为$f_Z(z) = \frac{1}{17\sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{z^2}{68}\right)$。