求以下矩阵的逆矩阵:(1 0 0 0;1 1 0 0;1 1 1 0;1 1 1 1)
时间: 2024-01-05 17:02:02 浏览: 23
根据矩阵的性质,一个矩阵存在逆矩阵的条件是其行列式不为0。可以计算该矩阵的行列式:
$$
\begin{vmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 1 & 1 \\
\end{vmatrix}
= 1 \times
\begin{vmatrix}
1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 1 \\
\end{vmatrix}
- 0 \times
\begin{vmatrix}
1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 1 \\
\end{vmatrix}
+ 0 \times
\begin{vmatrix}
1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 1 \\
\end{vmatrix}
- 0 \times
\begin{vmatrix}
1 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 \\
\end{vmatrix}
= 1 \neq 0
$$
因此,该矩阵存在逆矩阵。现在需要求出逆矩阵。可以使用高斯-约旦消元法,将该矩阵和单位矩阵拼接起来,形成增广矩阵,并对增广矩阵进行初等行变换,使左半部分变为单位矩阵,右半部分即为所求逆矩阵。
$$
\left[\begin{array}{cccc|cccc}
1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{array}\right]
\rightarrow
\left[\begin{array}{cccc|cccc}
1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 1 & -1 & 0 & 0 & 1 \\
\end{array}\right]
$$
$$
\rightarrow
\left[\begin{array}{cccc|cccc}
1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 \\
\end{array}\right]
\rightarrow
\left[\begin{array}{cccc|cccc}
1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -1 & 1 \\
\end{array}\right]
$$
因此,该矩阵的逆矩阵为:
$$
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
-1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 1 \\
\end{pmatrix}
$$