求以下矩阵的逆矩阵（1，0，3，9;0，1，0，3;0，0，1，0;0，0，0，1）

先将该矩阵写成增广矩阵的形式：

（1，0，3，9，|，1，0，0，0）
（0，1，0，3，|，0，1，0，0）
（0，0，1，0，|，0，0，1，0）
（0，0，0，1，|，0，0，0，1）

通过高斯-约旦消元法将左侧的矩阵化为单位矩阵，右侧的矩阵即为所求的逆矩阵：

（1，0，0，0，|，-9，0，9，0）
（0，1，0，0，|，-3，0，3，0）
（0，0，1，0，|，0，0，1，0）
（0，0，0，1，|，0，0，0，1）

因此，所求的逆矩阵为：

（-9，0，9，0）
（-3，0，3，0）
（0，0，1，0）
（0，0，0，1）

相关问题

求以下矩阵的逆矩阵（1 0 3 9，0 1 0 3，0 0 1 0，0 0 0 1）

可以使用高斯-约旦消元法来求解逆矩阵。

首先将原矩阵和单位矩阵合并，得到增广矩阵：

[1 0 3 9 | 1 0 0 0]
[0 1 0 3 | 0 1 0 0]
[0 0 1 0 | 0 0 1 0]
[0 0 0 1 | 0 0 0 1]

然后进行高斯-约旦消元，将矩阵化为上三角矩阵：

[1 0 3 9 | 1 0 0 0]
[0 1 0 3 | 0 1 0 0]
[0 0 1 0 | 0 0 1 0]
[0 0 0 1 | 0 0 0 1]

[1 0 3 9 | 1 0 0 0]
[0 1 0 3 | 0 1 0 0]
[0 0 1 0 | 0 0 1 0]
[0 0 0 1 | 0 0 0 1]

[1 0 0 0 | -3 0 0 1]
[0 1 0 0 | 0 -3 0 1]
[0 0 1 0 | 0 0 -1/3 0]
[0 0 0 1 | 0 0 0 1]

最终得到上三角矩阵，将其化为单位矩阵即可得到逆矩阵：

[1/3 0 -1 3]
[0 -1/3 0 1]
[0 0 -3 0]
[0 0 0 1]

因此，原矩阵的逆矩阵为：

[1/3 0 -1 3]
[0 -1/3 0 1]
[0 0 -3 0]
[0 0 0 1]

求以下矩阵的逆矩阵：（1 0 0 0;1 1 0 0;1 1 1 0;1 1 1 1）

根据矩阵的性质，一个矩阵存在逆矩阵的条件是其行列式不为0。可以计算该矩阵的行列式：

$$
\begin{vmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 1 & 1 \\
\end{vmatrix}
= 1 \times
\begin{vmatrix}
1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 1 \\
\end{vmatrix}
- 0 \times
\begin{vmatrix}
1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 1 \\
\end{vmatrix}
+ 0 \times
\begin{vmatrix}
1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 1 \\
\end{vmatrix}
- 0 \times
\begin{vmatrix}
1 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 \\
\end{vmatrix}
= 1 \neq 0
$$

因此，该矩阵存在逆矩阵。现在需要求出逆矩阵。可以使用高斯-约旦消元法，将该矩阵和单位矩阵拼接起来，形成增广矩阵，并对增广矩阵进行初等行变换，使左半部分变为单位矩阵，右半部分即为所求逆矩阵。

$$
\left[\begin{array}{cccc|cccc}
1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{array}\right]
\rightarrow
\left[\begin{array}{cccc|cccc}
1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 1 & -1 & 0 & 0 & 1 \\
\end{array}\right]
$$

$$
\rightarrow
\left[\begin{array}{cccc|cccc}
1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 \\
\end{array}\right]
\rightarrow
\left[\begin{array}{cccc|cccc}
1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -1 & 1 \\
\end{array}\right]
$$

因此，该矩阵的逆矩阵为：

$$
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
-1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 1 \\
\end{pmatrix}
$$