3、已知三次样条曲线如下式(1),现给定曲线的端点向量P(0),P(1)和端点切线向量 [图片] , [图片] ,分别记为 [图片] ,,试写出以 [图片] ,表示的曲线参数方程。
时间: 2023-12-26 20:03:19 浏览: 42
首先给出三次样条曲线的参数方程:
$$
\mathbf{P}(u) = \sum_{i=0}^{n} \mathbf{N}_i^3(u)\mathbf{P}_i
$$
其中,$n$ 表示控制点个数减一,$\mathbf{P}_i$ 表示第 $i$ 个控制点的坐标,$\mathbf{N}_i^3(u)$ 是三次B样条基函数。
对于已知曲线的端点向量 $\mathbf{P}(0)$ 和 $\mathbf{P}(1)$ 以及端点切线向量 $\mathbf{T}(0)$ 和 $\mathbf{T}(1)$,我们可以利用曲线的连续性和光滑性,求出曲线上的所有控制点坐标,并进而得到参数方程。
具体步骤如下:
1. 根据 $\mathbf{T}(0)$,得到曲线在 $u=0$ 处的一阶导数 $\mathbf{P}'(0)$,进而计算出第一个控制点 $\mathbf{P}_0$:
$$
\mathbf{P}_0 = \mathbf{P}(0)
$$
2. 根据 $\mathbf{T}(1)$,得到曲线在 $u=1$ 处的一阶导数 $\mathbf{P}'(1)$,进而计算出最后一个控制点 $\mathbf{P}_n$:
$$
\mathbf{P}_n = \mathbf{P}(1)
$$
3. 根据 $\mathbf{T}(0)$ 和 $\mathbf{P}(0)$,利用一阶导数的连续性,求出第二个控制点 $\mathbf{P}_1$:
$$
\mathbf{P}_1 = \mathbf{P}_0 + \frac{1}{3}\|\mathbf{P}'(0)\|\mathbf{T}(0)
$$
4. 根据 $\mathbf{T}(1)$ 和 $\mathbf{P}(1)$,利用一阶导数的连续性,求出倒数第二个控制点 $\mathbf{P}_{n-1}$:
$$
\mathbf{P}_{n-1} = \mathbf{P}_n - \frac{1}{3}\|\mathbf{P}'(1)\|\mathbf{T}(1)
$$
5. 对于其它控制点,可以通过求解三次样条曲线的系数矩阵方程得到。系数矩阵方程的具体形式为:
$$
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
h_1 & 2(h_1+h_2) & h_2 & 0 \\
0 & h_2 & 2(h_2+h_3) & h_3 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\mathbf{P}_1 \\
\mathbf{P}_2 \\
\mathbf{P}_3 \\
\mathbf{P}_4
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\frac{1}{3}\|\mathbf{P}'(0)\|\mathbf{T}(0) \\
\mathbf{Q}_1 \\
\mathbf{Q}_2 \\
\frac{1}{3}\|\mathbf{P}'(1)\|\mathbf{T}(1)
\end{bmatrix}
$$
其中,$h_i$ 表示第 $i$ 个节点间的距离,$\mathbf{Q}_1$ 和 $\mathbf{Q}_2$ 分别是两个中间控制点的坐标向量,可以通过插值求解得到。
最终的曲线参数方程为:
$$
\mathbf{P}(u) = \sum_{i=0}^{n} \mathbf{N}_i^3(u)\mathbf{P}_i
$$
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