已知P0（2，3） P1（10，8）P0’（1，1）P1’（2，2），写出其对应的三次参数样条曲线，并求t=1/3时对应值

首先，我们需要确定参数样条曲线的控制点，根据题目，我们可以得到四个控制点P0、P1、P0'、P1'。

然后，我们需要确定样条函数的节点向量。由于这是一个三次样条曲线，我们需要在每个控制点周围插入两个节点，因此节点向量为：

t = {0, 0, 0, 1/3, 2/3, 1, 1, 1}

接下来，我们需要计算样条函数的系数矩阵M。由于这是一个三次样条曲线，系数矩阵为：

M = 1/6 *
[ 1 4 1 0
-3 0 3 0
3 -6 3 0
-1 3 -3 1 ]

然后，我们可以得到参数样条曲线的表达式：

S(t) = [t^3, t^2, t, 1] * M * [P0, P1, P0', P1']

将参数t=1/3代入，可以得到对应值为：

S(1/3) = [1/27, 1/9, 1/3, 1] * M * [2, 10, 1, 2, 3, 8, 1, 2] = [1.963, 5.801, 2.296, 2]

因此，在t=1/3时，对应的值为（1.963, 5.801）。

相关问题

4、已知P0（2，3） P1（10，8）P0’（1，1）P1’（2，2），写出其对应的三次参数样条曲线，并求t=1/3时对应值。

首先，根据参数样条曲线的定义，我们需要确定控制点和节点向量。由于已知四个点，我们可以按照一定的方式构造出控制点和节点向量。

我们可以将四个点分别作为四个控制点，并将节点向量取为 $[0,0,0,1,2,3,4,4,4]$，这样就可以得到一个三次参数样条曲线。

具体地，我们可以根据如下公式计算：

$$
\begin{aligned}
P(t) &= (1-t)^3 P_0 + 3t(1-t)^2 P_1 + 3t^2(1-t)P_0' + t^3 P_1' \\
&= (1-t)^3 \begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix} + 3t(1-t)^2 \begin{bmatrix}10\\8\end{bmatrix} + 3t^2(1-t) \begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix} + t^3 \begin{bmatrix}2\\2\end{bmatrix}
\end{aligned}
$$

将 $t=\frac{1}{3}$ 带入上式，可以得到：

$$
\begin{aligned}
P(\frac{1}{3}) &= (1-\frac{1}{3})^3 \begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix} + 3\cdot\frac{1}{3}(1-\frac{1}{3})^2 \begin{bmatrix}10\\8\end{bmatrix} + 3(\frac{1}{3})^2(1-\frac{1}{3}) \begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix} + (\frac{1}{3})^3 \begin{bmatrix}2\\2\end{bmatrix} \\
&= \begin{bmatrix}4.111\\4.444\end{bmatrix}
\end{aligned}
$$

因此，当 $t=\frac{1}{3}$ 时，对应的点为 $(4.111,4.444)$。

求出已知P0（2，3）， P1（10，8），P0'（1，1），P1'（2，2），写出其对应的三次参数样条曲线，并求t=1/3时对应值

首先，我们需要计算出四个控制点之间的差值向量：

d0 = P0' - P0 = (1, 1) - (2, 3) = (-1, -2)
d1 = P1' - P1 = (2, 2) - (10, 8) = (-8, -6)

接下来，我们需要计算出两个中间控制点：

C0 = P0 + d0/3 = (2, 3) + (-1/3, -2/3) = (5/3, 7/3)
C1 = P1 + d1/3 = (10, 8) + (-8/3, -2) = (14/3, 2)

然后，我们可以使用三次参数样条曲线的公式来计算曲线上任意点的位置：

P(t) = (2 - 3t + 3t^2 - t^3)P0 + (t - 2t^2 + t^3)C0 + (3t^2 - 2t^3)C1 + (t^3 - t^2)P1

将t=1/3代入上式，可得：

P(1/3) = (2 - 3/3 + 3/9 - 1/27)P0 + (1/3 - 2/9 + 1/27)C0 + (3/9 - 2/27)C1 + (1/27 - 1/9)P1
= (35/27, 89/27)

因此，当t=1/3时，对应的曲线上的点位置为 (35/27, 89/27)。