已知P0[0,0]，P1[1,1]，P2[2,1]，P3[4,4]是一个三次bezier曲线特征多边形顶点，求出此bezier曲线的参数方程。

三次Bezier曲线的参数方程如下：
$$
P(t)=(1-t)^3P_0+3t(1-t)^2P_1+3t^2(1-t)P_2+t^3P_3
$$

将题目中给出的点代入参数方程中，得到此Bezier曲线的参数方程为：
$$
P(t)=(1-t)^3[0,0]+3t(1-t)^2[1,1]+3t^2(1-t)[2,1]+t^3[4,4]
$$

展开后得到：
$$
P(t)=\left[\begin{array}{c}
(1-t)^3\cdot0+3t(1-t)^2\cdot1+3t^2(1-t)\cdot2+t^3\cdot4\\
(1-t)^3\cdot0+3t(1-t)^2\cdot1+3t^2(1-t)\cdot1+t^3\cdot4
\end{array}\right]
$$

化简后即为：
$$
P(t)=\left[\begin{array}{c}
6t^3-15t^2+10t\\
6t^3-9t^2+3t
\end{array}\right]
$$

相关问题

7、已知P0（2，4）P1（4，7）P2（8，4），P3（10，2）求曲线的起点，终点，以及切矢。

这道题目需要先求解三次贝塞尔曲线的参数方程，然后再利用参数方程求解起点、终点和切矢。

首先，三次贝塞尔曲线的参数方程为：

$$
P(t) = (1-t)^3P_0 + 3t(1-t)^2P_1 + 3t^2(1-t)P_2 + t^3P_3
$$

其中，$t$ 是参数，$P_0$、$P_1$、$P_2$、$P_3$ 是给定的控制点。

将给定的控制点代入参数方程，得到：

$$
P(t) = (1-t)^3\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix} + 3t(1-t)^2\begin{pmatrix} 4 \\ 7 \end{pmatrix} + 3t^2(1-t)\begin{pmatrix} 8 \\ 4 \end{pmatrix} + t^3\begin{pmatrix} 10 \\ 2 \end{pmatrix}
$$

化简上式，得到：

$$
P(t) = \begin{pmatrix} 2-10t^3+21t^2-12t \\ 4+30t^3-48t^2+18t \end{pmatrix}
$$

接下来，我们求解起点、终点和切矢。

起点对应的参数 $t=0$，终点对应的参数 $t=1$。因此，起点和终点分别为：

$$
P(0) = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix},\ P(1) = \begin{pmatrix} 10 \\ 2 \end{pmatrix}
$$

切矢是指曲线在某一点的切线方向。对于三次贝塞尔曲线，切矢可以通过对参数方程求导得到。具体来说，三次贝塞尔曲线的切矢为：

$$
P'(t) = -3(1-t)^2\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix} + 3(1-t)^2\begin{pmatrix} 4 \\ 7 \end{pmatrix} - 6t(1-t)\begin{pmatrix} 4 \\ 7 \end{pmatrix} + 6t(1-t)\begin{pmatrix} 8 \\ 4 \end{pmatrix} + 3t^2\begin{pmatrix} 10 \\ 2 \end{pmatrix}
$$

将参数 $t$ 分别代入上式，得到起点和终点处的切矢：

$$
P'(0) = \begin{pmatrix} 12 \\ -18 \end{pmatrix},\ P'(1) = \begin{pmatrix} -6 \\ -18 \end{pmatrix}
$$

因此，该曲线的起点为 $(2, 4)$，终点为 $(10, 2)$，起点处的切矢为 $\begin{pmatrix} 12 \\ -18 \end{pmatrix}$，终点处的切矢为 $\begin{pmatrix} -6 \\ -18 \end{pmatrix}$。

已知3点坐标P1(X1,Y1),P2(X2,Y2),P3(X3,Y3)，画过P1,P2,P3这三点的圆弧，要求按照P1->P2-P3的顺序

根据上述算法，可以按照以下步骤计算得到过P1、P2、P3三点的圆弧：

1. 计算点P1、P2、P3之间的中垂线，分别得到线段P1P2和P2P3的中点坐标M1(Xm1, Ym1)和M2(Xm2, Ym2)。
Xm1 = (X1 + X2) / 2
Ym1 = (Y1 + Y2) / 2
Xm2 = (X2 + X3) / 2
Ym2 = (Y2 + Y3) / 2

2. 计算线段P1P2和P2P3的斜率k1和k2，如果k1和k2有任意一个为0，则圆心坐标可以直接计算。否则，继续计算圆心坐标。

k1 = (Y2 - Y1) / (X2 - X1)
k2 = (Y3 - Y2) / (X3 - X2)

3. 如果k1为0，则圆心坐标为(xc, yc) = (Xm1, Ym2 + (Xm1 - Xm2) / k2)。

xc = Xm1
yc = Ym2 + (Xm1 - Xm2) / k2

4. 如果k2为0，则圆心坐标为(xc, yc) = (Xm2, Ym1 + (Xm2 - Xm1) / k1)。

xc = Xm2
yc = Ym1 + (Xm2 - Xm1) / k1

5. 如果k1和k2都不为0，则圆心坐标为(xc, yc) = ((k1 * k2 * (Ym2 - Ym1) + k2 * Xm1 - k1 * Xm2) / (2 * (k2 - k1)), (yc = -1/k1 * (xc - (Xm1 + Xm2) / 2) + (Ym1 + Ym2) / 2))。

6. 计算圆心到任意一个点的距离即为半径r，例如r = sqrt((X1 - xc)^2 + (Y1 - yc)^2)。

7. 根据圆心坐标和半径可以确定圆弧的方程。例如，在直角坐标系下，圆弧方程为(x - xc)^2 + (y - yc)^2 = r^2。

注意，如果三点共线或者两点重合，无法构成圆弧。此外，如果计算过程中涉及到除数为0的情况，需要进行特殊处理。