7、已知P0(2,4)P1(4,7)P2(8,4),P3(10,2)求曲线的起点,终点,以及切矢。
时间: 2024-05-23 09:10:55 浏览: 33
这道题目需要先求解三次贝塞尔曲线的参数方程,然后再利用参数方程求解起点、终点和切矢。
首先,三次贝塞尔曲线的参数方程为:
$$
P(t) = (1-t)^3P_0 + 3t(1-t)^2P_1 + 3t^2(1-t)P_2 + t^3P_3
$$
其中,$t$ 是参数,$P_0$、$P_1$、$P_2$、$P_3$ 是给定的控制点。
将给定的控制点代入参数方程,得到:
$$
P(t) = (1-t)^3\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix} + 3t(1-t)^2\begin{pmatrix} 4 \\ 7 \end{pmatrix} + 3t^2(1-t)\begin{pmatrix} 8 \\ 4 \end{pmatrix} + t^3\begin{pmatrix} 10 \\ 2 \end{pmatrix}
$$
化简上式,得到:
$$
P(t) = \begin{pmatrix} 2-10t^3+21t^2-12t \\ 4+30t^3-48t^2+18t \end{pmatrix}
$$
接下来,我们求解起点、终点和切矢。
起点对应的参数 $t=0$,终点对应的参数 $t=1$。因此,起点和终点分别为:
$$
P(0) = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix},\ P(1) = \begin{pmatrix} 10 \\ 2 \end{pmatrix}
$$
切矢是指曲线在某一点的切线方向。对于三次贝塞尔曲线,切矢可以通过对参数方程求导得到。具体来说,三次贝塞尔曲线的切矢为:
$$
P'(t) = -3(1-t)^2\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix} + 3(1-t)^2\begin{pmatrix} 4 \\ 7 \end{pmatrix} - 6t(1-t)\begin{pmatrix} 4 \\ 7 \end{pmatrix} + 6t(1-t)\begin{pmatrix} 8 \\ 4 \end{pmatrix} + 3t^2\begin{pmatrix} 10 \\ 2 \end{pmatrix}
$$
将参数 $t$ 分别代入上式,得到起点和终点处的切矢:
$$
P'(0) = \begin{pmatrix} 12 \\ -18 \end{pmatrix},\ P'(1) = \begin{pmatrix} -6 \\ -18 \end{pmatrix}
$$
因此,该曲线的起点为 $(2, 4)$,终点为 $(10, 2)$,起点处的切矢为 $\begin{pmatrix} 12 \\ -18 \end{pmatrix}$,终点处的切矢为 $\begin{pmatrix} -6 \\ -18 \end{pmatrix}$。
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