4、已知P0(2,3) P1(10,8)P0’(1,1)P1’(2,2),写出其对应的三次参数样条曲线,并求t=1/3时对应值。
时间: 2024-06-07 15:05:38 浏览: 21
首先,根据参数样条曲线的定义,我们需要确定控制点和节点向量。由于已知四个点,我们可以按照一定的方式构造出控制点和节点向量。
我们可以将四个点分别作为四个控制点,并将节点向量取为 $[0,0,0,1,2,3,4,4,4]$,这样就可以得到一个三次参数样条曲线。
具体地,我们可以根据如下公式计算:
$$
\begin{aligned}
P(t) &= (1-t)^3 P_0 + 3t(1-t)^2 P_1 + 3t^2(1-t)P_0' + t^3 P_1' \\
&= (1-t)^3 \begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix} + 3t(1-t)^2 \begin{bmatrix}10\\8\end{bmatrix} + 3t^2(1-t) \begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix} + t^3 \begin{bmatrix}2\\2\end{bmatrix}
\end{aligned}
$$
将 $t=\frac{1}{3}$ 带入上式,可以得到:
$$
\begin{aligned}
P(\frac{1}{3}) &= (1-\frac{1}{3})^3 \begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix} + 3\cdot\frac{1}{3}(1-\frac{1}{3})^2 \begin{bmatrix}10\\8\end{bmatrix} + 3(\frac{1}{3})^2(1-\frac{1}{3}) \begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix} + (\frac{1}{3})^3 \begin{bmatrix}2\\2\end{bmatrix} \\
&= \begin{bmatrix}4.111\\4.444\end{bmatrix}
\end{aligned}
$$
因此,当 $t=\frac{1}{3}$ 时,对应的点为 $(4.111,4.444)$。
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