编程用动态规划的自底向上的方法实现最优二叉查找树算法
时间: 2024-05-27 17:13:18 浏览: 43
动态规划的自底向上的方法实现最优二叉查找树算法的步骤如下:
1. 初始化辅助数组d、w、root,其中d[i][j]表示从i到j的最小搜索代价,w[i][j]表示从i到j的权值和,root[i][j]表示从i到j的最小搜索代价对应的根结点。
2. 对于所有单个结点i = j,d[i][j] = w[i][j],根据定义,w[i][j]表示从i到j的权值和。
3. 对于所有区间长度大于1的子区间[i, j],计算d[i][j]和root[i][j]。
a) 初始化d[i][j]为一个很大的数,root[i][j]为空。
b) 枚举根结点k(i ≤ k ≤ j),计算左右子树的最小搜索代价和权值和。
i) 左子树为[i, k-1],右子树为[k+1, j]。
ii) 左子树的搜索代价为d[i][k-1],权值和为w[i][k-1],右子树的搜索代价为d[k+1][j],权值和为w[k+1][j]。
iii) 总搜索代价为其根结点k的权值w[i][j]加上左右子树的最小搜索代价之和。
iv) 更新d[i][j]和root[i][j]。
4. 最终的最小搜索代价为d[1][n],其中n为结点总数。
同时,此问题的详细解题过程可参考一些经典的算法教材,如《算法导论》等。
相关问题
动态规划算法设计,python最优二叉查找树
动态规划算法是一种常见的算法设计思想,它的主要思路是将问题划分为若干个子问题,并且子问题之间存在重叠,通过求解子问题来解决整个问题。通常来说,动态规划算法需要满足三个条件:最优子结构、无后效性和重复子问题。
Python中实现最优二叉查找树的过程如下:
首先,我们需要定义一个节点类Node,用于存储树节点的信息,包括节点值、左右子节点等信息。
其次,我们需要实现一个函数build_optimal_bst,该函数接收一个有序列表keys和对应的概率值probs作为输入,用于构建一棵最优二叉查找树,并返回根节点。
接下来,我们可以实现一个递归函数build_subtree,该函数接收一个有序列表keys、对应的概率值probs、以及当前子树的起始和结束位置作为输入,用于构建当前子树的最优二叉查找树,并返回子树的根节点。
最后,在build_optimal_bst函数中调用build_subtree函数递归构建整棵树,并返回根节点即可。
以下是Python实现最优二叉查找树的代码示例:
```
class Node:
def __init__(self, val):
self.val = val
self.left = None
self.right = None
def build_optimal_bst(keys, probs):
n = len(keys)
memo = [ * (n + 1) for _ in range(n + 1)]
for i in range(n):
memo[i][i] = probs[i]
for l in range(2, n + 1):
for i in range(n - l + 2):
j = i + l - 1
memo[i][j] = float("inf")
for k in range(i, j + 1):
left_cost = memo[i][k - 1] if k > i else 0
right_cost = memo[k + 1][j] if k < j else 0
curr_cost = left_cost + right_cost + sum(probs[i:j + 1])
if curr_cost < memo[i][j]:
memo[i][j] = curr_cost
root = Node(keys[k])
root.left = build_subtree(keys, probs, i, k - 1)
root.right = build_subtree(keys, probs, k + 1, j)
return root
def build_subtree(keys, probs, start, end):
if start > end:
return None
elif start == end:
return Node(keys[start])
else:
min_cost = float("inf")
for k in range(start, end + 1):
left_cost = memo[start][k - 1] if k > start else 0
right_cost = memo[k + 1][end] if k < end else 0
curr_cost = left_cost + right_cost + sum(probs[start:end + 1])
if curr_cost < min_cost:
min_cost = curr_cost
root = Node(keys[k])
root.left = build_subtree(keys, probs, start, k - 1)
root.right = build_subtree(keys, probs, k + 1, end)
return root
```
动态规划最优二叉搜索树算法
动态规划最优二叉搜索树算法的基本思想是利用最优子结构来求解问题。首先定义e[i,j]为包含关键字k[i,...,j]的最优二叉搜索树的期望搜索代价,e[1,n]为问题的最终解。算法的过程可以分为以下几个步骤:
1. 初始化:对于每个关键字k[i],将e[i,i-1]和w[i,i-1]初始化为d[i-1]和d[i-1]的值,其中w[i,i-1]表示权重。
2. 计算子问题:对于每个子问题的长度l(从2到n),计算e[i,j]和w[i,j]的值。其中e[i,j]表示包含关键字k[i,...,j]的最优二叉搜索树的期望搜索代价,w[i,j]表示子树的权重。
3. 填表:根据最优子结构的性质,逐步填充e[i,j]和w[i,j]的值。
4. 寻找根节点:根据填表得到的e和w数组,可以找到最优二叉搜索树的根节点。
5. 构建最优二叉搜索树:根据根节点,递归地构建最优二叉搜索树。
以上就是动态规划最优二叉搜索树算法的基本步骤。通过这个算法,我们可以找到包含给定概率集合的期望搜索代价最小的二叉搜索树。