请详细解释如何使用数学归纳法证明排序算法中合并排序的时间复杂度为O(n log n)？

要证明合并排序的时间复杂度为O(n log n)，可以采用数学归纳法来进行。合并排序是一种典型的分治算法，它将数组分成两半，递归地对它们进行排序，然后合并这两个已排序的子数组。

参考资源链接：[《算法导论》第三版答案详解](https://wenku.csdn.net/doc/inavgr7g25?spm=1055.2569.3001.10343)

首先，我们假设排序算法是正确的，并且在递归的每一步中都按照期望的时间复杂度来执行。对于合并排序的基准情况，即数组只有一个元素时，它已经是有序的，因此不需要任何操作，时间复杂度是O(1)。

接下来，我们用数学归纳法证明对于任意的n > 1，合并排序算法的运行时间满足T(n) = 2T(n/2) + O(n)。这里，2T(n/2)表示递归排序两个子数组的时间，而O(n)表示合并两个子数组的时间。合并过程需要遍历两个子数组的所有元素，即n个元素，因此合并的步骤是线性时间的。

数学归纳法的第二步是归纳假设。假设对于所有小于n的数，合并排序的时间复杂度是O(n log n)。即对于数组长度为k < n的数组，排序时间复杂度为O(k log k)。

然后，我们来证明当数组长度为n时，合并排序的时间复杂度也是O(n log n)。由归纳假设可知，两个长度为n/2的子数组的排序时间分别为2 * O((n/2) log (n/2))。由于log (n/2) = log n - log 2，所以可以简化为2 * O((n/2) (log n - 1)) = O(n log n) - O(n)。加上合并的时间O(n)，总的时间复杂度为O(n log n)。

因此，通过数学归纳法，我们可以得出结论，对于任意的n，合并排序的时间复杂度是O(n log n)。

要深入理解这一证明过程，以及更详细地探讨排序算法及其时间复杂度分析，可以参考《算法导论》第三版答案详解，这本书提供了对书中习题的详细解答，包括数学归纳法的证明步骤和合并排序的时间复杂度分析。

参考资源链接：[《算法导论》第三版答案详解](https://wenku.csdn.net/doc/inavgr7g25?spm=1055.2569.3001.10343)