如何详细地应用数学归纳法来证明合并排序算法的时间复杂度为O(n log n)？

合并排序是一种典型的分治算法，它通过递归地将问题分解成更小的子问题来求解。为了证明合并排序的时间复杂度为O(n log n)，我们可以使用数学归纳法来展示算法的每一次递归步骤。具体步骤如下：

参考资源链接：[《算法导论》第三版答案详解](https://wenku.csdn.net/doc/inavgr7g25?spm=1055.2569.3001.10343)

首先，我们定义问题的规模为n，即输入数据的大小。在合并排序中，我们将数据分成两个子集，每个子集的大小为n/2。

基本情况：当问题规模为1时，即n=1，只有一个元素需要排序，合并排序的时间复杂度为O(1)，符合O(n log n)的要求。

归纳假设：假设对于所有小于n的输入规模，合并排序的时间复杂度为O(k log k)，其中k<n。

归纳步骤：现在我们考虑规模为n的情况。合并排序的步骤包括将输入分成两个大小为n/2的子问题，然后将这两个子问题合并成一个大小为n的已排序序列。合并这两个子序列的操作需要线性时间O(n)，因为它涉及到比较和移动每个元素一次。

根据归纳假设，我们可以将两个子问题的时间复杂度表示为O((n/2) log (n/2))。根据数学归纳法，我们有：

T(n) = 2T(n/2) + O(n)

根据主方法，我们可以分析这个递归关系式，它符合情况2，其中a=2，b=2，f(n)=O(n)。因为f(n) = Θ(n log n)，根据主方法的定理，我们可以得出合并排序的时间复杂度为O(n log n)。

因此，通过数学归纳法，我们证明了对于任意的n，合并排序算法的时间复杂度为O(n log n)。

为了更好地理解这一证明过程，强烈建议参考《算法导论》第三版答案详解。这份资料详细地解释了算法导论中的习题解答，并且通过实际的例题演示了数学归纳法在算法复杂度证明中的应用，将帮助你更深入地理解算法分析的过程。

参考资源链接：[《算法导论》第三版答案详解](https://wenku.csdn.net/doc/inavgr7g25?spm=1055.2569.3001.10343)