如何使用数学归纳法证明合并排序算法的时间复杂度为O(n log n)？

合并排序算法是基于分治策略的排序算法，其时间复杂度证明通常采用递归树方法，而数学归纳法是证明递归式正确性的一种强有力的工具。要证明合并排序的时间复杂度为O(n log n)，可以按照以下步骤进行：

参考资源链接：[《算法导论》第三版答案详解](https://wenku.csdn.net/doc/inavgr7g25?spm=1055.2569.3001.10343)

1. 确定递归关系式：对于合并排序，每个子问题的大小减半，直到子问题的大小为1。设T(n)表示对n个元素进行合并排序所需的时间，则有递归关系式T(n) = 2T(n/2) + O(n)，其中O(n)是合并两个子数组所需的时间。

2. 归纳基础：首先证明当n=1时，T(n) = O(n)，这是显然成立的，因为对一个元素排序不需要任何工作。

3. 归纳假设：假设对于所有小于n的正整数k，T(k) ≤ c * k * log(k) + d * k，其中c和d是常数。

4. 归纳步骤：要证明T(n) ≤ c * n * log(n) + d * n。根据递归关系式，T(n) = 2T(n/2) + O(n)。根据归纳假设，我们可以得到T(n/2) ≤ c * (n/2) * log(n/2) + d * (n/2)。因此，2T(n/2) ≤ 2 * [c * (n/2) * log(n/2) + d * (n/2)] = c * n * log(n/2) + d * n。由于log(n/2) = log(n) - log(2) = log(n) - 1，我们可以进一步简化得到2T(n/2) ≤ c * n * log(n) - c * n + d * n。加上O(n)项，我们得到T(n) ≤ c * n * log(n) + (d - c) * n + O(n)。为了满足T(n) ≤ c * n * log(n) + d * n，我们可以选择c和d使得(d - c)足够大以覆盖O(n)项。

5. 结论：通过选择合适的常数c和d，我们可以得出T(n) ≤ c * n * log(n) + d * n，满足T(n) = O(n log n)。

通过数学归纳法，我们证明了合并排序算法的时间复杂度为O(n log n)。这个证明过程不仅加深了对合并排序算法的理解，还展示了如何通过数学工具来分析算法的复杂度。对于希望深入了解算法分析的读者，《算法导论》第三版答案详解是极好的学习资源。该资料不仅包含了习题的详细解答，还提供了算法分析的全面视角，帮助读者构建坚实的理论基础，并在实际项目中应用这些知识。

参考资源链接：[《算法导论》第三版答案详解](https://wenku.csdn.net/doc/inavgr7g25?spm=1055.2569.3001.10343)