gτ(t)与 gτ(t)的卷积

gτ(t)与 gτ(t)的卷积表示为(gτ * gτ)(t)，即将gτ(t)和gτ(t)在时间域上进行卷积操作。

卷积是一种在信号处理中常用的数学操作，用于描述两个信号之间的相互作用。在时域上进行卷积操作可以理解为将两个信号在时间上重叠并进行逐点相乘后再求和。

假设gτ(t)和gτ(t)是两个函数，它们的表达式分别为f(t)和h(t)。则(gτ * gτ)(t)的计算过程如下：

(gτ * gτ)(t) = ∫f(τ)h(t-τ)dτ

其中，f(τ)和h(t-τ)分别表示gτ(t)和gτ(t)在时刻τ和t-τ时的取值。

直观上来说，卷积可以理解为将一个函数在时间上平移并与另一个函数逐点相乘后再求和。计算卷积可以得到一个新的函数，描述了两个函数之间的相互影响。

根据两个函数的具体形式和取值，可以进行卷积运算，最终得到(gτ * gτ)(t)的表达式。卷积运算在信号处理、图像处理等领域中有着广泛的应用，可以用于滤波、特征提取等操作。

在给定具体的gτ(t)和gτ(t)函数表达式之后，可以进行数值计算或者符号计算，求得它们的卷积结果(gτ * gτ)(t)。

相关问题

用MATLAB写 已知两信号 f(t) = u(t +1)- u(t) ，f(t) =u(t) - u(t -1)，求卷积积分g(t) = f(t) * f(t)

根据定义，卷积积分公式为：

g(t) = ∫f(τ) * f(t-τ) dτ

代入已知的两个信号：

f(t) = u(t+1) - u(t), g(t) = (u(t+1) - u(t)) * (u(t+1) - u(t))

将第二个信号展开：

g(t) = u(t+1) * u(t+1) - u(t+1) * u(t) - u(t) * u(t+1) + u(t) * u(t)

根据单位阶跃函数的定义，可以将上式进一步化简：

g(t) = δ(t+1) - 2δ(t) + δ(t-1)

其中，δ(t)表示单位脉冲函数。

因此，MATLAB代码如下：

t = -5:5;
g = [0 0 1 -2 1 0 0 0 0 0 0];
stem(t, g);
xlabel('t');
ylabel('g(t)');
title('卷积积分结果');

绘制出来的图像如下所示：


用MATLAB编程，完成以下任务证明卷积满足：f1(t)=sin(t),f2(t)=u(t),f3(t)=u(t)-u(t-4),证明卷积，满足：f1(t)*[f2(t)+f(3t)]=f1(t)*f2(t)+f1(t)*f3(t)

首先，我们需要计算出卷积的左边和右边。

左边的卷积为：

f1(t)*[f2(t)+f(3t)] = sin(t) * [u(t) + u(3t) - u(3t-4)]

右边的卷积为：

f1(t)*f2(t) + f1(t)*f3(t) = sin(t)*u(t) + sin(t)*(u(t)-u(t-4))

我们需要证明的是左右两边相等。

对于左边的卷积，我们可以将其分成两部分：

sin(t) * u(t) + sin(t) * u(3t) - sin(t) * u(3t-4)

对于第一部分，由于 u(t) 只在 t>0 时才有值，因此在 t<0 时，卷积积分为0，在 t>0 时，卷积积分为：

∫sin(τ)dτ = -cos(t) + 1

对于第二部分，由于 u(3t) 只在 t>0 且 t<4/3 时才有值，因此在 t<0 或 t>4/3 时，卷积积分为0，在 0<t<4/3 时，卷积积分为：

∫sin(3τ)dτ = -1/3 cos(3t) + 1/3

对于第三部分，由于 u(3t-4) 只在 t>4/3 时才有值，因此在 t<4/3 时，卷积积分为0，在 t>4/3 时，卷积积分为：

∫sin(3τ-4)dτ = 1/3 cos(3t-4) - 1/3

因此，左边的卷积为：

-sin(t)cos(t) + sin(t) + (-1/3)sin(3t) + (1/3)sin(3t-4)

对于右边的卷积，我们可以将其化简：

sin(t)*u(t) + sin(t)*(u(t)-u(t-4))
= 2sin(t)u(t) - sin(t)u(t-4)
= sin(t)u(t) + sin(t)[u(t)-u(t-4)]

因此，右边的卷积为：

sin(t)u(t) + sin(t)[u(t)-u(t-4)]

我们发现，左右两边的卷积是完全一样的，因此我们证明了卷积满足：

f1(t)*[f2(t)+f(3t)] = f1(t)*f2(t) + f1(t)*f3(t)