最小生成树普里姆算法程序的功能设计

最小生成树普里姆算法的功能设计是为了找到一个连通图的最小生成树，即通过选择边的方式将所有顶点连接起来，并且使得生成树的权值最小。

以下是最小生成树普里姆算法程序的功能设计：

1. 创建一个空的最小生成树集合MST，用于存储最小生成树的边。
2. 选择一个起始顶点作为根节点，并将其加入MST集合。
3. 初始化一个优先队列，用于存储当前顶点与MST集合中顶点之间的边，并按照边的权值进行排序。
4. 重复以下步骤，直到MST集合包含了所有顶点：
- 从优先队列中取出权值最小的边，记为e。
- 如果e的另一个顶点不在MST集合中，则将e加入MST集合，并将e的另一个顶点加入MST集合。
- 将e的另一个顶点与MST集合中的顶点之间的边加入优先队列。
5. 输出MST集合中的边，即为最小生成树的边集合。

这样，最小生成树普里姆算法程序就可以找到一个连通图的最小生成树。

相关问题

程序实现普里姆算法和克鲁斯卡尔算法求最小生成树

好的，下面我会分别介绍普里姆算法和克鲁斯卡尔算法，并给出它们的代码实现。

### 普里姆算法

普里姆算法是一种贪心算法，用于求解加权无向连通图的最小生成树。该算法从任意一个顶点开始，每次选择一条权值最小的边，将其加入到生成树中，直到所有顶点都被加入到生成树中为止。

普里姆算法的时间复杂度为 $O(ElogV)$，其中 $V$ 表示顶点数，$E$ 表示边数。

下面是普里姆算法的 Python 代码实现：

import heapq

def prim(graph, start):
    mst = []  # 用于存储最小生成树的边
    visited = set([start])  # 记录已经访问过的节点
    candidates = [(weight, start, end) for end, weight in graph[start].items()]
    heapq.heapify(candidates)  # 将初始的候选边加入小根堆中
    while candidates:
        weight, start, end = heapq.heappop(candidates)
        if end not in visited:  # 如果当前边的终点没有被访问过
            visited.add(end)
            mst.append((start, end, weight))
            for next_end, weight in graph[end].items():
                if next_end not in visited:
                    heapq.heappush(candidates, (weight, end, next_end))  # 将新的候选边加入小根堆中
    return mst

其中，`graph` 是一个字典，表示图的邻接表形式，`start` 是起始节点的编号。

### 克鲁斯卡尔算法

克鲁斯卡尔算法也是一种贪心算法，用于求解加权无向连通图的最小生成树。该算法的基本思想是，将所有边按照权值从小到大排序，依次取出每条边，如果这条边的两个端点不在同一个连通块中，就将它们合并，直到所有节点都在同一个连通块中为止。

克鲁斯卡尔算法的时间复杂度为 $O(ElogE)$，其中 $E$ 表示边数。

下面是克鲁斯卡尔算法的 Python 代码实现：

def kruskal(graph):
    edges = [(weight, start, end) for start in graph for end, weight in graph[start].items()]
    edges.sort()  # 将所有边按照权值从小到大排序
    parent = {node: node for node in graph}  # 用于记录每个节点的父节点
    mst = []  # 用于存储最小生成树的边
    for weight, start, end in edges:
        while start != parent[start]:  # 找到 start 的根节点
            start = parent[start]
        while end != parent[end]:  # 找到 end 的根节点
            end = parent[end]
        if start != end:  # 如果 start 和 end 不在同一个连通块中
            mst.append((start, end, weight))
            parent[end] = start  # 将 end 的根节点设为 start 的根节点
    return mst

其中，`graph` 是一个字典，表示图的邻接表形式。

普里姆算法构造最小生成树c语言源代码

以下是使用C语言实现普里姆算法构造最小生成树的源代码：

#include <stdio.h>
#include <limits.h>

#define V 5 // 图的顶点数

int minKey(int key[], bool mstSet[]) {
    int min = INT_MAX, min_index;
    for(int v = 0; v < V; v++)
        if(mstSet[v] == false && key[v] < min)
            min = key[v], min_index = v;
    return min_index;
}

void printMST(int parent[], int graph[V][V]) {
    printf("Edge \tWeight\n");
    for(int i = 1; i < V; i++)
        printf("%d - %d \t%d \n", parent[i], i, graph[i][parent[i]]);
}

void primMST(int graph[V][V]) {
    int parent[V]; // 最小生成树
    int key[V]; // 顶点的权值
    bool mstSet[V]; // 顶点是否已包含在最小生成树中
    for(int i = 0; i < V; i++)
        key[i] = INT_MAX, mstSet[i] = false;
    key[0] = 0;
    parent[0] = -1;
    for(int count = 0; count < V - 1; count++) {
        int u = minKey(key, mstSet);
        mstSet[u] = true;
        for(int v = 0; v < V; v++)
            if(graph[u][v] && mstSet[v] == false && graph[u][v] < key[v])
                parent[v] = u, key[v] = graph[u][v];
    }
    printMST(parent, graph);
}

int main() {
    int graph[V][V] = { { 0, 2, 0, 6, 0 },
                        { 2, 0, 3, 8, 5 },
                        { 0, 3, 0, 0, 7 },
                        { 6, 8, 0, 0, 9 },
                        { 0, 5, 7, 9, 0 } };
    primMST(graph);
    return 0;
}

该程序使用了邻接矩阵来表示图，并且默认图的顶点数为5。程序输出的结果为最小生成树的边及其权重。