通过马尔可夫性推导双目相机上下时刻的位姿状态转移方程,请举例说明
时间: 2024-04-04 17:29:34 浏览: 25
在双目相机中,左右相机分别拍摄同一场景,能够产生左右视差信息。通过视差信息,我们可以计算出左右相机之间的相对位姿,从而推导出相机在不同时刻的位姿状态转移方程。
我们可以使用四元数来表示相机的位姿状态,其中$q_t$表示相机在时刻$t$的旋转四元数,$p_t$表示相机在时刻$t$的平移向量。
假设我们已知相机在时刻$t-1$的位姿状态$q_{t-1}, p_{t-1}$,以及相机从$t-1$时刻到$t$时刻的左右视差信息$d_t$,则可以推导出相机在时刻$t$的位姿状态$q_t, p_t$。
首先,根据双目相机的几何关系,可以得到相机在$t$时刻的平移向量$p_t$为:
$$p_t = p_{t-1} + R_{t-1}^{-1}d_t$$
其中$R_{t-1}$为相机在$t-1$时刻的旋转矩阵,$R_{t-1}^{-1}$为其逆矩阵。
接下来,我们需要推导出相机在$t$时刻的旋转四元数$q_t$。由于相机的旋转是连续的,我们可以假设相机在$t$时刻的旋转四元数$q_t$可以由相机在$t-1$时刻的旋转四元数$q_{t-1}$通过一个增量四元数$\Delta q_t$得到,即:
$$q_t = \Delta q_t \otimes q_{t-1}$$
其中$\otimes$为四元数的乘法运算。
接下来的问题是如何求解增量四元数$\Delta q_t$。根据马尔可夫性假设,我们可以将相机在$t$时刻的旋转四元数$q_t$表示为相机在$t-1$时刻的旋转四元数$q_{t-1}$和在$t-1$时刻到$t$时刻的角速度$\omega_t$之间的关系,即:
$$q_t = q_{t-1} \otimes exp(\frac{1}{2}\omega_t\Delta t)$$
其中$exp(\frac{1}{2}\omega_t\Delta t)$为增量四元数$\Delta q_t$,$\Delta t$为$t-1$到$t$时刻的时间间隔。
最后,我们需要求解在$t-1$时刻到$t$时刻的角速度$\omega_t$。由于相机的运动是连续的,我们可以假设相机在$t$时刻的角速度$\omega_t$可以由相机在$t-1$时刻的角速度$\omega_{t-1}$和在$t-1$时刻到$t$时刻的角加速度$\alpha_t$之间的关系得到,即:
$$\omega_t = \omega_{t-1} + \alpha_t\Delta t$$
综上所述,我们可以得到双目相机在不同时刻的位姿状态转移方程:
$$\begin{cases} p_t = p_{t-1} + R_{t-1}^{-1}d_t \\ \omega_t = \omega_{t-1} + \alpha_t\Delta t \\ \Delta q_t = exp(\frac{1}{2}\omega_t\Delta t) \\ q_t = \Delta q_t \otimes q_{t-1} \end{cases}$$
其中$R_{t-1}$为相机在$t-1$时刻的旋转矩阵,$R_{t-1}^{-1}$为其逆矩阵。
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