模拟退火算法求旅行商问题的算法描述

模拟退火算法（Simulated Annealing，SA）是一种基于概率的全局优化算法，可以用于求解旅行商问题（Traveling Salesman Problem，TSP）。其算法描述如下：

假设有 $n$ 个城市，$d_{i,j}$ 表示第 $i$ 个城市到第 $j$ 个城市的距离，$x_k$ 表示第 $k$ 个城市的编号。初始时，随机生成一个初始解 $x_1^0, x_2^0, \cdots, x_n^0$，并设初始温度为 $T_0$，终止温度为 $T_f$，冷却速率为 $\alpha$。

模拟退火算法的主要步骤如下：

1. 从当前解 $x_1^k, x_2^k, \cdots, x_n^k$ 中随机选择两个城市 $i, j$，将它们交换得到一个邻域解 $x_1', x_2', \cdots, x_n'$，即 $x_i' = x_j^k, x_j' = x_i^k, x_l' = x_l^k (l \neq i,j)$。

2. 计算邻域解与当前解的目标函数值差 $\Delta E = f(x_1', x_2', \cdots, x_n') - f(x_1^k, x_2^k, \cdots, x_n^k)$，其中 $f(x_1, x_2, \cdots, x_n)$ 表示旅行商问题的目标函数，即经过所有城市一次，回到起始城市的总距离。

3. 如果 $\Delta E < 0$，则接受邻域解；否则以一定的概率接受邻域解，即以 $\exp(-\Delta E/T_k)$ 的概率接受邻域解，其中 $T_k$ 表示当前温度。

4. 重复上述步骤，直到温度降至终止温度 $T_f$。最终得到的解即为近似最优解。

其中，接受邻域解的概率随着温度的降低而减小，即在初始时接受概率较高，随着温度的降低，接受概率越来越小，最终趋于零。冷却速率 $\alpha$ 决定了温度的下降速度，一般取值为 $0.95 \sim 0.99$。

需要注意的是，模拟退火算法只能得到近似最优解，并不能保证得到全局最优解。因此，需要通过多次运行算法，选取其中最好的结果作为最终的近似最优解。