集合覆盖问题的对偶舍入算法
时间: 2023-12-17 17:29:15 浏览: 50
对偶舍入算法是一种近似算法,用于解决集合覆盖问题。它是基于线性规划对偶理论的,通过对原问题的对偶问题进行舍入来得到似解。下面是对偶舍入算法的步骤:
1. 将集合覆盖问题转化为线性规划问题,并求出其对偶问题。
2. 解决对偶问题,得到对偶问题的最优解y*。
3. 对y*进行舍入,得到一个可行解y。
4. 根据y构造一个原问题的可行解x。
5. 检验x是否为最优解,如果是则输出x,否则返回步骤2。
对于第3步的舍入,可以使用随机舍入或者最大轮廓法。其中,随机舍入是将y*中的每个元素随机舍入为0或1,而最大轮廓法则是将y*中的元素按照大小排序,然后依次将其舍入为0或1,直到不能再添加元素为止。
相关问题
对偶单纯形算法的代码实现
对偶单纯形算法是线性规划中的一种常见算法,其主要思想是不断通过单纯形操作来改变对偶问题的解以逼近原问题的最优解。对偶单纯形算法的代码实现需要注意以下几点:
1. 初始时需要构造对偶问题,并将对偶问题转化为标准型。
2. 每次迭代时需要选取一个入基变量和一个出基变量。
3. 对偶单纯形算法需要保证对偶问题的可行性,因此要在每次迭代之前检验对偶问题的可行性。
4. 对于无界问题和不可行问题需要进行特殊处理。
下面是对偶单纯形算法的代码实现(Python):
```python
import numpy as np
def dual_simplex(c, A, b):
# 构造对偶问题
m, n = A.shape
c_d = -b
A_d = -A.T
b_d = c
# 将对偶问题转化为标准型
c_d = np.hstack((c_d, np.zeros(m)))
A_d = np.hstack((A_d, np.eye(m)))
basic_idx = range(n, n+m)
while True:
# 计算对偶问题的解
x_d = np.zeros(n+m)
x_d[basic_idx] = np.linalg.solve(A_d[:, basic_idx], b_d)
u = c_d + A_d.T @ x_d
# 检验对偶问题的可行性
if np.all(u >= 0):
x = np.zeros(n)
x[basic_idx[:n]] = x_d[basic_idx[:n]]
return x, -c @ x
# 选取入基变量和出基变量
j0 = np.argmin(u)
if u[j0] >= 0:
return None, -np.inf
d = np.linalg.solve(A_d[:, basic_idx], A_d[:, j0])
if np.all(d <= 0):
return None, np.inf
ratios = x_d[basic_idx] / d
ratios[d <= 0] = np.inf
i0 = basic_idx[np.argmin(ratios)]
# 更新基
basic_idx[basic_idx == i0] = j0
if __name__ == '__main__':
c = np.array([2, 1, 0, 0])
A = np.array([
[1, 2, 1, 0],
[1, 1, 0, 1]
])
b = np.array([4, 3])
x, z = dual_simplex(c, A, b)
print(x, z)
```
原始对偶混合梯度算法
原始对偶混合梯度算法是一种高效的算法,用于解决总变差最小化问题,在图像处理领域有广泛的应用。该算法通过在原始变量和对偶变量之间交替更新,并利用两者的信息来加速收敛速度。在实验证明,该算法比一些流行的现有方法收敛更快。此外,该算法可以应用于解决其他总变差模型和L1最小化问题。<span class="em">1</span><span class="em">2</span><span class="em">3</span>
#### 引用[.reference_title]
- *1* *2* *3* [文献翻译--一种高效的原始对偶混合梯度全变差图像恢复算法 TV去模糊模型](https://blog.csdn.net/weixin_43816216/article/details/125788704)[target="_blank" data-report-click={"spm":"1018.2226.3001.9630","extra":{"utm_source":"vip_chatgpt_common_search_pc_result","utm_medium":"distribute.pc_search_result.none-task-cask-2~all~insert_cask~default-1-null.142^v92^chatsearchT0_1"}}] [.reference_item style="max-width: 100%"]
[ .reference_list ]