拉格朗日多项式余项的截断误差matlab代码

拉格朗日多项式的余项公式为

$$R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\prod_{i=0}^n(x-x_i),$$

其中 $\xi$ 是介于 $x_0$ 和 $x_n$ 之间的某个数。

假设我们要对 $f(x) = e^x$ 在 $x_0=0, x_1=1$ 处进行二次插值，那么余项公式可以写成

$$R_2(x) = \frac{e^\xi}{3!}(x-0)(x-1)^2,$$

其中 $0<\xi<1$。

下面是用 Matlab 编写的计算余项的代码：

syms x;
f = exp(x);  % 定义原函数
n = 2;  % 二次插值
x0 = 0; x1 = 1;  % 插值节点
L2 = lagrange(x, [x0, x1], n);  % 求二次拉格朗日多项式
R2 = diff(f,x,n+1)*L2/prod(x - [x0, x1]);  % 求余项公式

这里用到了符号计算工具箱中的 `syms` 命令和 `diff` 命令，用来分别定义符号变量和求导。最后得到的 $R_2(x)$ 就是余项的表达式。如果要计算 $x$ 取某个值时的余项，可以用 `subs` 命令进行代入计算。

相关问题

拉格朗日截断误差的matlab代码

以下是使用Matlab实现拉格朗日插值并计算截断误差的代码示例：

% 定义原函数
f = @(x) sin(x);

% 定义插值节点
x = linspace(0, pi, 5);
y = f(x);

% 定义插值多项式
syms t
L = 0;
for i=1:length(x)
    Li = y(i);
    for j=1:length(x)
        if j~=i
            Li = Li * (t-x(j)) / (x(i)-x(j));
        end
    end
    L = L + Li;
end

% 绘制原函数和插值多项式
xx = linspace(0, pi, 100);
yy = f(xx);
pp = eval(L);
figure;
plot(xx, yy, 'b', xx, pp, 'r--', x, y, 'ro');

% 计算截断误差
dL = diff(L, length(x)+1);
max_dL = max(abs(subs(dL, t, xx)));
max_f = max(abs(f(xx)));
trunc_err = max_dL / factorial(length(x)+1) * max_f^(length(x)+1)

其中，f为原函数，x和y为插值节点，L为插值多项式，xx为绘制图像的x坐标轴，yy为原函数在xx上的取值，pp为插值多项式在xx上的取值，dL为插值多项式的(length(x)+1)阶导数，max_dL为dL在xx上的最大值，max_f为f在xx上的最大值，trunc_err为截断误差。

拉格朗日插值法 matlab 截断误差

拉格朗日插值法是一种用于在一组已知数据点之间进行插值的方法。它使用一个多项式来逼近这些数据点，从而得到一个连续的函数。MATLAB中可以使用拉格朗日插值法来实现函数的插值。截断误差是指插值函数与原函数之间的差距，它是衡量插值精度的重要指标。

下面是两个MATLAB函数的代码，分别使用线性插值和抛物插值来计算sin(x)的函数值，并计算截断误差：

1. 线性插值函数sin_L：

function y=sin_L(x0,y0,x1,y1,x)
% sin_L输出sin(x)使用线性插值计算得到的函数值
% 例如: y=sin_L(0.32,0.314567,0.34,0.333487,0.3367)
% y =
% 0.3304
% R =
% 9.1892e-06
% 以下为判断输入值是否合法的代码
if nargin~=5
error('请输入线性插值的插值节点和插值点')
end
if ~( isnumeric(x0)&&isnumeric(y0)&&isnumeric(x1)&&isnumeric(y1)&&isnumeric(x) )
error('输入参数必须是数')
end
% 核心计算的代码
y=y0+(y1-y0)*(x-x0)/(x1-x0);
% 以下为求解截断误差的代码
syms M2;
% 因为sin(x)的二阶导数是本身，所以只需要挑出最大的y值，即可的到M2
if y0>y1
M2=y0;
else
M2=y1;
end
R=M2*abs((x-x0)*(x-x1))/2

2. 抛物插值函数sin_T：

function y=sin_T(x0,y0,x1,y1,x2,y2,x)
% sin_T输出sin(x)使用抛物插值计算得到的函数值
% 例如: y=sin_T(0.32,0.314567,0.34,0.333487,0.36,0.352274,0.3367)
% y =
% 0.3304
% R =
% 2.0315e-07
% 以下为判断输入值是否合法的代码
if nargin~=7
error('请输入线性插值的插值节点和插值点')
end
if ~( isnumeric(x0)&&isnumeric(y0)&&isnumeric(x1)&&isnumeric(y1)&&isnumeric(x2)&&isnumeric(y2)&&isnumeric(x) )
error('输入参数必须是数')
end
% 核心计算的代码
y=y0*(x-x1)*(x-x2)/((x0-x1)*(x0-x2))+y1*(x-x0)*(x-x2)/((x1-x0)*(x1-x2))+y2*(x-x0)*(x-x1)/((x2-x0)*(x2-x1));
% 以下为求解截断误差的代码
y_0=cos(x0);
% 因为sin(x)的三阶导数是cos(x),那么只要求出x0,x1,x2的cos值，然后去最大即可得到M3
y_1=cos(x1);
y_2=cos(x2);
syms M3;
if y_0>y_1
M3=y_0;
else
M3=y_1;
end
if y_2>M3
M3=y_2;
end
R=M3*abs((x-x0)*(x-x1)*(x-x2))/6