拉格朗日多项式余项的截断误差matlab代码

拉格朗日多项式的余项公式为

$$R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\prod_{i=0}^n(x-x_i),$$

其中 $\xi$ 是介于 $x_0$ 和 $x_n$ 之间的某个数。

假设我们要对 $f(x) = e^x$ 在 $x_0=0, x_1=1$ 处进行二次插值，那么余项公式可以写成

$$R_2(x) = \frac{e^\xi}{3!}(x-0)(x-1)^2,$$

其中 $0<\xi<1$。

下面是用 Matlab 编写的计算余项的代码：

syms x;
f = exp(x);  % 定义原函数
n = 2;  % 二次插值
x0 = 0; x1 = 1;  % 插值节点
L2 = lagrange(x, [x0, x1], n);  % 求二次拉格朗日多项式
R2 = diff(f,x,n+1)*L2/prod(x - [x0, x1]);  % 求余项公式

这里用到了符号计算工具箱中的 `syms` 命令和 `diff` 命令，用来分别定义符号变量和求导。最后得到的 $R_2(x)$ 就是余项的表达式。如果要计算 $x$ 取某个值时的余项，可以用 `subs` 命令进行代入计算。

相关问题

matlab拉格朗日插值多项式余项

拉格朗日插值多项式的余项可以用以下公式表示：

Rn(x) = f(x) - pn(x) = (x-x0)(x-x1)...(x-xn)/(n+1)! * f^(n+1)(ξ)

其中，f(x)是被插值函数，pn(x)是插值多项式，ξ是介于x0和xn之间的某个数，f^(n+1)(ξ)是f(x)的(n+1)阶导数在ξ处的值。

这个余项公式说明了在使用插值多项式作为f(x)的近似值时，真实值与近似值之间的误差大小。当n越大时，余项越小，插值多项式的精度越高。但是，当x与插值节点之间的距离增大时，余项的大小也会增加，插值多项式的精度会降低。

用matlab写出拉格朗日插值多项式余项

拉格朗日插值多项式的余项可以表示为：

R_n(x) = f(x) - P_n(x)

其中，f(x)为原函数，P_n(x)为n次拉格朗日插值多项式。余项R_n(x)可以表示为：

R_n(x) = (x-x_0)(x-x_1)...(x-x_n) / (n+1)! * f^(n+1)(c)

其中，x_0, x_1, ..., x_n为插值节点，f^(n+1)(c)为原函数在插值节点x_0, x_1, ..., x_n之间的n+1阶导数在某一点c处的值。

下面是用MATLAB实现求解拉格朗日插值多项式余项的代码：

syms x; % 定义符号变量x
n = input('请输入插值节点个数n: ');
f = input('请输入原函数f(x): ');
a = input('请输入插值区间左端点a: ');
b = input('请输入插值区间右端点b: ');
x0 = linspace(a, b, n+1); % 生成插值节点
L = ones(n+1, length(x)); % 初始化拉格朗日插值基函数
for i = 1:n+1
for j = 1:n+1
if i ~= j
L(i,:) = L(i,:) .* (x - x0(j)) / (x0(i) - x0(j));
end
end
end
P = simplify(sum(f(x0) .* L)); % 求解拉格朗日插值多项式
R = simplify(f - P); % 求解余项
disp(['拉格朗日插值多项式为：', char(P)]);
disp(['余项为：', char(R)]);