输入一个正整数 n ,输出从小到大顺序输出小于 n 的所有反素数。
时间: 2024-05-29 10:08:23 浏览: 209
首先回顾一下什么是反素数:一个正整数如果满足它的因子个数比小于它的任何正整数都要多,那么这个数就被称为反素数。例如,4的因子有1、2、4,共3个,而小于4的正整数中,只有3的因子个数也是3个,因此4是反素数。
接下来思考如何求小于 n 的所有反素数。一个暴力的做法是,从 1 到 n-1 依次枚举每个正整数,然后对于每个正整数,逐个检查它的因子个数是否比小于它的所有正整数都多。具体实现时,可以用一个 for 循环遍历小于它的所有正整数,然后再遍历它的因子,统计因子个数。如果因子个数比小于它的所有正整数的因子个数都要多,那么就输出这个数。
这个做法的时间复杂度是 O(n^2),显然无法通过本题的大数据测试。我们需要寻找更高效的算法。
观察反素数的定义,我们可以发现一个性质:如果一个数是反素数,那么它必然是某个质数的若干次方乘以另一个质数。例如,24是反素数,它可以表示成 $2^3 \times 3$ 的形式,其中2和3都是质数。因为质数的因子只有1和它本身,所以如果一个正整数是某个质数的若干次方乘以另一个质数,那么它的因子个数一定是 $(e_1+1) \times (e_2+1)$ 的形式,其中 $e_1$ 和 $e_2$ 是它分解质因数后各个质因子的指数。因此,我们可以通过枚举质数和指数,计算它们的乘积是否小于 n,来逐个生成小于 n 的反素数。
具体实现时,我们可以预处理出小于 n 的所有质数,并存储在数组 primes 中。然后,我们从指数为1开始,依次枚举每个质数,计算当前反素数并存储到数组 ans 中。如果当前反素数比前面所有反素数都要大,那么就更新最大的反素数 max_ans。当我们枚举完所有质数和指数后,ans 数组中存储的就是所有小于 n 的反素数,按照从小到大的顺序输出即可。
下面是具体实现:
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