傅里叶普方法求解一维热方程的python代码

下面是使用傅里叶谱方法求解一维热方程的Python代码：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义常数
L = 1.0     # 空间范围
T = 0.1     # 时间范围
N = 100     # 空间网格数
M = 5000    # 时间步数
α = 0.1     # 热扩散系数

# 空间网格步长
dx = L / N

# 时间步长
dt = T / M

# 定义空间网格和时间网格
x = np.linspace(0, L, N+1)
t = np.linspace(0, T, M+1)

# 初始条件
u = np.exp(-(x-0.5)**2 / (2*0.02))

# 傅里叶谱方法求解
for k in range(1, M+1):
    u_hat = np.fft.fft(u)
    λ = np.array([j*np.pi/L for j in range(N//2+1)] + [-j*np.pi/L for j in range(1, N//2)])
    u_hat = u_hat * np.exp(-α*dt*λ**2)
    u = np.real(np.fft.ifft(u_hat))

# 画图
plt.plot(x, u)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('u')
plt.show()

在这个例子中，我们使用了傅里叶谱方法来求解一维热方程。具体来说，我们将初始条件视为一个函数 $u(x)$，然后使用傅里叶变换将其转换为频域，然后在频域中进行时间步进。在每个时间步长 $dt$ 中，我们将 $u$ 的频域表示乘以一个衰减因子 $\exp(-\alpha dt \lambda^2)$，其中 $\lambda$ 是频率。然后我们使用傅里叶逆变换将其转换回空间域，并重复该过程直到达到所需的时间步数。最终，我们得到了热方程的解 $u(x,t)$。