矩阵连乘算法时间复杂度

矩阵连乘问题通常指的是给定n个矩阵{A1, A2, ..., An}，其中矩阵Ai的维度为pi-1 x pi（1 <= i <= n），要求计算这些矩阵的连乘积A1 * A2 * ... * An的最小计算次数，即确定计算顺序以最小化计算乘积所需的标量乘法次数。

这个问题可以通过动态规划算法来解决。动态规划算法的时间复杂度分析如下：

1. 状态定义：设m[i][j]表示计算矩阵Ai到Aj的连乘积所需的最小乘法次数。

2. 状态转移方程：m[i][j] = min(m[i][k] + m[k+1][j] + pi-1 * pk * pj)，其中k从i到j-1遍历，i <= k < j。

3. 初始状态：单个矩阵的连乘不需要乘法，因此m[i][i] = 0。

4. 计算顺序：一般采用两重循环嵌套，外循环遍历所有可能的i，内循环遍历所有可能的j。

根据上述算法，我们可以得到矩阵连乘问题的时间复杂度。假设矩阵链的长度为n，那么状态转移方程中k的取值范围是[0, n)，因此动态规划表的大小是n*n。每次计算m[i][j]需要O(n)的时间来遍历k，所以整个算法的总时间复杂度是O(n^3)。